如何建立数学模型估算日活用户数？
新增 、 留存 、 日活 是APP产品的通用指标。如果某一天，被问到以下的问题，你会怎样分析：
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按照现有的趋势，下季度我们的日活能达到多少？
-
下季度的日活目标是xxxx万，为了达到它，我们的新增用户计划是每天xxxx万，你觉得这个计划合理吗？
下面会介绍，我们如何通过新增和留存，对未来的日活进行估算。
日活是『堆积』起来的
堆积过程
我们都知道：
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任意一天的活跃用户，是由历史每日的新增用户 堆积 而成的。
-
新增用户从获取的第2天起，活跃的数量逐渐衰减；越早的新增用户，仍然活跃的比例越小。
下图：以模拟数据表示日活的堆积过程，横轴为日期序列，纵轴为活跃用户数。选取任意一天，如图中红色垂线；垂线被分割的每一段，代表历史某日的新增用户到达当天的活跃数量，越靠近横轴的部分表示越早期的新增，最上面的一段表示当日新增：
堆积表达式
为避免啰嗦，约定符号如下：
-
假设我们处在产品历史的第天，需要估算历史第天的日活
-
表示第天的日活
-
表示第天的新增
-
表示第天的新增在获取第天的留存率；对任意的，获取当日的留存率为100%，即
于是，估算的目标表示如下：
观察以上等式右侧，我们需要以下输入数据：
-
，每天新增用户数。对于
，对应历史每日的新增用户数，是已知项；对于 
，对应未来新增用户的计划，是直接输入项。因此这一项不需要额外计算。 -
，每天的新增用户，到达第天时的留存率，是未知项。
于是，我们只需要搞定，也就是留存率的衰减规律。
糟糕，历史数据一直在变
看起来，似乎大功告成了，留存率从DB里拉出来不就行了吗？但是关于留存率还有两个问题：
-
历史的留存率有变化：未来的日活与历史每天有关，英语流利说已有3年的历史，期间的各种变化，不能用平均值这种粗糙的方式处理
-
需要更远期的留存率：虽然有了3年的数据，还需要更远期的留存率数据；例如：为了估算半年后的日活，就需要新增用户3年半以后的留存率
下面来解决这两个问题。
解决历史留存率的变化
变化的原因
首先分析为什么变化，以及初步的解决思路：
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短期：由渠道拓展、运营活动引起的留存率变化。对于这种情况，是可以用平均值处理的
-
长期：由产品迭代、用户习惯养成引起的留存率变化。对于这种情况，直接的方法是，对历史每天的新增用户维护留存率序列
，例如第1天新增用户次日、3日……N日留存，第2天……第N-1天新增用户的次日留存。这种方案的问题是： -
计算复杂：每次估算都要追溯整个历史
-
早期的留存率并不能对后期有绝对影响：用户在经历多个版本的产品升级后，体验发生变化，即使对每天的新增用户维护留存率序列， 未来的留存率衰减速度不一定完全延续历史趋势
变化的解决方案
以当前日作为划分，估算表达式右侧拆分成2项：
考虑等式右侧第一项：其中为历史第天的新增在今天的留存率， 
就是在今天的留存人数。其中每日留存率 依赖 历史第日的情况；而是从当前日到第日的留存率衰减比例，从业务逻辑上，仅与当前和以后版本的产品使用有关，受历史当时的影响较小。
因此我们放弃维护不同应的，定义为第日的日活中，历史第日新增贡献的人数，于是：
表达式改写为：
其中是对当前日的日活分解，可以直接计算作为输入。
也就是说，对任意， 不再看当时获得了多少新增、经过了怎样额衰减；而只看目前还『剩下』多少活跃用户。而对『剩下』的用户，从今往后的衰减规律，取决于当前和以后的产品形态，受历史版本影响较小。
改写后的表达式中，所有与相关的项，受历史影响较小，因此可以进一步简化：忽略，使用近期 (例如1年) 的留存率概括值作为输入 
解决更远期的留存率
就差搞定了！我们采用了 曲线拟合 ，获得更远期的留存，顺便对近期留存做一个概括。
通常情况下，拟合并不是严谨的方法，从统计模型的角度，属于偏差最大、泛化能力较弱的一种。此处使用拟合方法，隐含了对留存率衰减趋势的经验假设。
函数那么多，应该用哪一种？为此，用相邻日的留存率相除 (前 / 后)，定义为留存率衰减比例，对近期样本作图如下。可见：在大约某天后，留存率的衰减比例接近恒定，可以理解为用户进入『稳定期』；此后每一天的留存率，等于前一天留存率乘以一个相对稳定的系数，由此想到了指数函数。
然而指数函数对衰减稳定之前的阶段并不适用，可以将指数项改成天数的幂函数：
对衰减稳定前、稳定后的样本，用以上函数分段拟合。将等式两边做对数变换，成为线性函数
求解参数的方法：参数采用 最小二乘法 计算；并以最大化 Adjusted R-squared 为目标，对参数进行 Grid Search 。分段拟合的结果是一个分段函数，曲线如下，其中灰色半透明点表示留存率样本，红蓝曲线为分段拟合结果：
至此，解决了所有的输入问题。
最终，模型的输出为，实际输入为：
-
，当前日的日活中，属于历史第天新增用户的数量；为了更加稳定，可以用最近几日的均值 -
，明日起，直到第日的每日的计划新增用户数，可以是一个变化的序列 -
，近一段时间 (例如1年) 的每日留存率序列样本
在建立估算模型之前，业务部门更倾向使用一些经验估算方法，例如：利用 日活 / 新增 比例。经验方法的优点是简单；缺点是：依赖的假设条件可能发生变化，而由于方法过于简单，我们并不能解释这些变化，甚至不知道变化的幅度可能有多大。例如，我们并不知道 日活 / 新增 以后会变成什么样，但我们对于留存率是有预期的。
相比之下，模型的优点是：使得每一项输入尽可能在控制范围内，并对历史的变动不那么敏感。
小编说：
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正文到此结束
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