机器学习和计算机视觉相关的数学

MIT一牛人对数学在机器学习中的作用给的评述，写得很实际

机器学习和计算机视觉都是很多种数学的交汇场。看着不同的理论体系的交汇，对于一个researcher来说，往往是非常exciting的enjoyable的事情。不过，这也代表着要充分了解这个领域并且取得有意义的进展是很艰苦的。

Linear Algebra (线性代数) 和 Statistics (统计学) 是最重要和不可缺少的。

这代表了Machine Learning中最主流的两大类方法的基础。一种是以研究函数和变换为重点的代数方法，比如Dimension reduction，feature extraction，Kernel等，一种是以研究统计模型和样本分布为重点的统计方法，比如Graphical model, Information theoretical models等。它们侧重虽有不同，但是常常是共同使用的，对于代数方法，往往需要统计上的解释，对于统计模型，其具体计算则需要代数的帮助。以代数和统计为出发点，继续往深处走，我们会发现需要更多的数学。

Calculus (微积分)，只是数学分析体系的基础。

其基础性作用不言而喻。Learning研究的大部分问题是在连续的度量空间进行的，无论代数还是统计，在研究优化问题的时候，对一个映射的微分或者梯度的分析总是不可避免。而在统计学中，Marginalization和积分更是密不可分——不过，以解析形式把积分导出来的情况则不多见。

Partial Differential Equation （偏微分方程)， 这主要用于描述动态过程，或者仿动态过程。

这个学科在Vision中用得比Learning多，主要用于描述连续场的运动或者扩散过程。比如Level set, Optical flow都是这方面的典型例子。

Measure Theory (测度理论)， 这是和实分析关系非常密切的学科。但是测度理论并不限于此。

从某种意义上说，Real Analysis可以从Lebesgue Measure（勒贝格测度）推演，不过其实还有很多别的测度体系——概率本身就是一种测度。测度理论对于Learning的意义是根本的，现代统计学整个就是建立在测度理论的基础之上——虽然初级的概率论教科书一般不这样引入。在看一些统计方面的文章的时候，你可能会发现，它们会把统计的公式改用测度来表达，这样做有两个好处：所有的推导和结论不用分别给连续分布和离散分布各自写一遍了，这两种东西都可以用同一的测度形式表达：连续分布的积分基于Lebesgue测度，离散分布的求和基于计数测度，而且还能推广到那种既不连续又不离散的分布中去（这种东西不是数学家的游戏，而是已经在实用的东西，在Dirchlet Process或者Pitman-Yor Process里面会经常看到)。而且，即使是连续积分，如果不是在欧氏空间进行，而是在更一般的拓扑空间（比如微分流形或者变换群），那么传统的黎曼积分（就是大学一年级在微积分课学的那种）就不work了，你可能需要它们的一些推广，比如Haar Measure或者Lebesgue-Stieltjes积分。

Topology（拓扑学) ，这是学术中很基础的学科。

它一般不直接提供方法，但是它的很多概念和定理是其它数学分支的基石。看很多别的数学的时候，你会经常接触这样一些概念：Open set / Closed set，set basis，Hausdauf, continuous function，metric space, Cauchy sequence, neighborhood, compactness, connectivity。很多这些也许在大学一年级就学习过一些，当时是基于极限的概念获得的。如果，看过拓扑学之后，对这些概念的认识会有根本性的拓展。比如，连续函数，当时是由epison法定义的，就是无论取多小的正数epsilon，都存在xxx，使得xxx。这是需要一种metric去度量距离的，在general topology里面，对于连续函数的定义连坐标和距离都不需要——如果一个映射使得开集的原像是开集，它就是连续的——至于开集是基于集合论定义的，不是通常的开区间的意思。这只是最简单的例子。当然，我们研究learning也许不需要深究这些数学概念背后的公理体系，但是，打破原来定义的概念的局限在很多问题上是必须的——尤其是当你研究的东西它不是在欧氏空间里面的时候——正交矩阵，变换群，流形，概率分布的空间，都属于此。

Differential Manifold (微分流形) ，通俗地说它研究的是平滑的曲面。

一个直接的印象是它是不是可以用来fitting一个surface什么的——当然这算是一种应用，但是这是非常初步的。本质上说，微分流形研究的是平滑的拓扑结构。一个空间构成微分流形的基本要素是局部平滑：从拓扑学来理解，就是它的任意局部都同胚于欧氏空间，从解析的角度来看，就是相容的局部坐标系统。当然，在全局上，它不要求和欧氏空间同胚。它除了可以用于刻画集合上的平滑曲面外，更重要的意义在于，它可以用于研究很多重要的集合。一个n-维线性空间的全部k-维子空间(k

Lie Group Theory (李群论) ，一般意义的群论在Learning中被运用的不是很多，群论在Learning中用得较多的是它的一个重要方向Lie group。

定义在平滑流形上的群，并且其群运算是平滑的话，那么这就叫李群。因为Learning和编码不同，更多关注的是连续空间，因为Lie group在各种群中对于Learning特别重要。各种子空间，线性变换，非奇异矩阵都基于通常意义的矩阵乘法构成李群。在李群中的映射，变换，度量，划分等等都对于Learning中代数方法的研究有重要指导意义。

这是大牛们做的很好的综述啊！