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IMO2015 趣题：平衡的但无中心的点集

2015 年 IMO 的第 1 题很有意思。假设 S 是平面上的某个点集。如果对于 S 中的任意两点 A 、 B ，我们都能在 S 中找到一个点 C 满足 AC = BC ，我们就说这个点集 S 是平衡的。如果对于 S 中的任意三点 A 、 B 、 C ，我们都无法在 S 中找到一个点 P 满足 PA = PB = PC ，我们就说这个点集 S 是无中心的。这道题有两个小问。

证明：对于所有大于等于 3 的正整数 n ，都存在一个由 n 个点构成的平衡点集。
对于哪些大于等于 3 的正整数 n ，存在由 n 个点构成的平衡的但无中心的点集？

在第一小问中，如果 n 为奇数，我们只需要在圆周上取 n 个间隔相等的点即可。这 n 个点把圆周分成了 n 段等长的小圆弧。由于 n 为奇数，因此对于任意两点 A 、 B 来说，在优弧 AB 和劣弧 AB 当中，必然是一个包含奇数段小圆弧，一个包含偶数段小圆弧，其中后者上的中点一定也在点集里，不妨把它记作点 C 。由于弧 AC 的长度等于弧 BC ，因此线段 AC 的长度等于线段 BC 。这说明，这 n 个点满足平衡性的要求。

当 n = 4 时，以 O 为圆心作圆，在圆上找出 A 、 B 、 C 三个点，使得 △OAB 、 △OBC 都是等边三角形。容易验证，这四个点是满足要求的。在此基础上，每次再在圆上找两个与点 O 构成等边三角形的点，就能得到 n = 6, 8, 10, 12, … 时的方案。对于圆周上的任意两点，圆心 O 到它们俩等距；对于圆心和圆周上的任意一点，都有至少一个和它们配对的等边三角形，这个等边三角形的第三个顶点到它们俩等距。因此，如此得到的方案都是满足要求的。

所以，对于任意大于等于 3 的正整数 n ，满足要求的方案都是存在的。

在第二小问中，若 n 为奇数，那么圆周上的 n 个间隔相等的点即满足要求。我们刚才已经说明了，这样的点集是平衡的。对于圆周上的任意三点来说，到它们距离相等的点都是这个圆的圆心，而圆心并不在点集中，因此这个点集也是无中心的。

接下来，我们将要证明，对于所有的偶数 n = 2k ，满足要求的点集都是不存在的。由于点集满足平衡性，因此对于点集中的任意两个点 A 、 B ，我们都能找到一个与它们等距的点 C 。我们就说，点 C 平衡了 (A, B) 这一对点。显然，任意一个点最多都只能平衡掉 k – 1 对点，否则被它平衡的点将会有重复，从而不满足无中心的条件。然而，所有可能的点对数量为 2k · (2k – 1) / 2 = 2 · k ² – k ，这里面最多只有 2k · (k – 1) = 2 · k ² – 2 · k 个点对能被平衡掉。这就说明，满足要求的点集是不存在的。

正文到此结束