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无向图求最小割集

一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；最小割集当然就权和最小的割集。

可以用最小切割最大流定理：

1.min=MAXINT,确定一个源点

2.枚举汇点

3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min

4.转到2直到枚举完毕

5.min即为所求输出min

不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)

所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。

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prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。

求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：

1.min=MAXINT，固定一个顶点P

2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边

3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min

4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）

5.转到2，合并N-1次后结束

6.min即为所求，输出min

prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)

如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)

这个Stoer-Wagner算法可以参见这篇paper(http://docs.google.com /fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:

对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.

如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:

1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.

2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.

6. 若|V|!=1则继续1.

看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:

1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.

2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!

3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).

POJ 2914模板

//就是最小割集，可以使用最小割 Stoer-Wagner 算法 //题意就是要去掉一些边，使得可以分成两个集合，并且使得去掉的边的权值和为最小 /* 算法步骤： 1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和. 2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增). 3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.  4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut. 5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边. 6. 若|V|!=1则继续1. */ const int N = 501; const int MAXV = 0x3F3F3F3F; int n,m,v[N];//经过合并后的第i个节点v[i] int mat[N][N]; int dis[N];//dis[i]表示w(A,v[i]) bool vis[N]; int res; inline int min(int a, int b){  return a < b ? a : b; } int Stoer_Wagner(int n) {  int i, j;  int res = MAXV;  for (i = 0; i < n; i++)   v[i] = i;//初始化第i个结点就是i  while (n > 1) {   int maxp = 1,prev = 0;   for (i = 1;i < n;i++){ //初始化到已圈集合的割大小,并找出最大距离的顶点    dis[v[i]] = mat[v[0]][v[i]];    if (dis[v[i]] > dis[v[maxp]])     maxp = i;   }   memset(vis, 0, sizeof(vis));   vis[v[0]] = true;   for (i = 1;i < n;i++) {    if (i == n - 1){ //只剩最后一个没加入集合的点，更新最小割     res = min(res,dis[v[maxp]]);     for (j = 0; j < n; j++){ //合并最后一个点以及推出它的集合中的点      mat[v[prev]][v[j]] += mat[v[j]][v[maxp]];      mat[v[j]][v[prev]] = mat[v[prev]][v[j]];     }     v[maxp] = v[--n];//第maxp个节点去掉，第n个节点变成第maxp个    }    vis[v[maxp]] = true;    prev = maxp;    maxp = -1;    for (j = 1;j < n;j++)     if (!vis[v[j]]){ //将上次求的maxp加入集合，合并与它相邻的边到割集      dis[v[j]] += mat[v[prev]][v[j]];      if (maxp == -1 || dis[v[maxp]] < dis[v[j]])       maxp = j;     }   }  }  return res; } int main(){  while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {   memset(mat, 0, sizeof (mat));   int x,y,z;   while (m--) {    scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);    mat[x][y] += z;    mat[y][x] += z;   }   printf("%d/n",Stoer_Wagner(n));  }  return 0; }