【抽象代数】 05 - 环和域

抽象代数不是为了抽象而抽象，它所研究的代数系统都有着广泛的实例原型。群论的学习中我们已经看到很多系统同时存在着两个运算，而且它们是相互关联的，这就迫使我们来研究这种代数系统的结构和特点。从另一方面看，运算之间的互相牵连也会导致单个运算的特殊性质，你将会在后面的讨论中看到这一点。

1. 环

1.1 环和子环

具有两个运算的系统比较多，性质也各有不同，我们必须先从中抽取出“最小”的系统才能有通用性。各种数系、多项式、矩阵的加法和乘法是最具代表性的双运算系统，以它们为参考可以得到比较有用的系统。矩阵（线性空间）为双运算系统提供了丰富的可能性，教材中的例子也避不开它，但你也只需知道一些基本概念就行，线性代数今后将作为专门的课题讨论。

考察上面提到的常见系统，它们的加法群都是交换群，故假设新的抽象系统的一个运算也为交换群。为方便起见可直接称其为 加群 ，加群的单位元称为 零元素 （记作/(0/)）。加群的所有表达式都可以写为加减法，加法的“幂”可以用倍数表示。你可以证明，以下常见的变形都是成立的，今后可以直接使用。

/[a+0=a;/quad a-a=0;/quad -(-a)=a;/quad -(a+b)=-a-b;/quad -(a-b)=b-a/tag{1}/]

/[-(na)=(-n)a;/quad ma+na=(m+n)a;/quad m(na)=(mn)a;/quad n(a+b)=na+nb/tag{2}/]

以上系统的中的乘法群就比较弱了，但至少组合律是成立的，所以它是一个半群。如果我们定义的系统只有两个孤立的运算，也大可不必做这样的研究。研究常见的系统，可以发现乘法和加法满足以下 分配律 。至此我们就可以定义新的系统了，一个运算为加法群，另一个运算为半群，且它们满足分配率，这样的系统称为 环 （ring），一般用字母/(R/)表示，乘法可交换的环叫 交换环 。乘法如果有单位元，按照惯例一般记作/(1/)。

/[a(b+c)=ab+bc;/quad (a+b)c=ac+bc/tag{3}/]

如果你仔细观察分配率，可以发现其中有同态映射的影子，这其实也是还有着各种性质的主要原因。现在来看看加法在结合了乘法后，都有哪些性质，我们以前熟悉的表达式变形还能不能成立。首先对于特殊的/(0/)元素，因为/(0a+0a=(0+0)a/)，容易有/(0a=0/)，零元素在乘法下将所有元素归为/(0/)。再来看/((-a)b/)，因为/((-a)b+ab=(-a+a)b=0/)，故有/((-a)b=-ab/)。这些都是以前就熟悉的表达式，它们在环里都是成立的。下面是更多的常用表达式，证明比较容易。

/[0a=a0=0;/quad (-a)b=a(-b)=-ab;/quad c(a-b)=ca-cb/tag{4}/]

/[/sum{a_i}/sum{b_j}=/sum/sum{a_ib_j};/quad (ma)(nb)=(mn)(ab)/tag{5}/]

很自然地，可以定义 子环 ，它是进一步研究环结构的基本定义。子环除了是加群的子群外，还需对乘法封闭，这些比较容易证明。和单运算系统一样，可以定义环同构，如果两个环/(R_1,R_2/)之间存在一一映射/(f/)，且映射保持运算（公式（6）），则称/(R_1,R_2/) 同构 （/(R_1/cong R_2/)）。

/[f(a+b)=f(a)+f(b);/quad f(ab)=f(a)f(b)/tag{6}/]

环中也可以对单位元和逆进行讨论，由于两个运算的相互作用，往往会表现出有趣的性质，但证明中也需要巧妙的构造。比如考察有单位元的环/(R/)，如果元素/(a/)有至少两个右逆元，记逆元的集合为/(/{a_k/}/)。考察集合/(/{a_ka-1+a_1/}/)，容易证明它们都是右逆元且互不相等，从而这两个集合存在一一映射。如果集合是有限的，则存在/(a_xa-1+a_1=a_1/)，化简后两边同时乘以/(a_y/)得/(a_x=a_y/)，从而所有右逆元相等。这就导致了矛盾，所以右逆元必然有无穷多个，而有限环最多只能有一个右逆元，这个结论称为Kaplanskey定理。

•每个元素都是幂等元/(a^2=a/)的环叫布尔环，求证/(a=-a/)且/(ab=ba/)；

•环/(R/)有单位元，求证加法交换律可由定义的其它部分证明；（提示：分配率的不交换性）

•求证：唯一的左（右）单位元必定是单位元；（提示：构造/(ae_l-a+e_l/)）

•如果/(1+ab/)可逆，则/(1+ba/)也可逆；（提示：构造）

•求证：交换环中所有满足/(a^n=0/)的元素组成子环。

1.2 零因子

零元素在环中有着特殊的地位，它如同黑洞一般讲所有元素吸入，使得环的局部呈现坍塌。反之，环的整体结构还是得靠那些能逃脱/(0/)的“引力”的元素撑起来。为此定义/(ab=0/)中的/(a,b/ne 0/)分别为环的左、右 零因子 ，不是零因子的元素叫 正则元 ，正则元就是我们要找的“支撑元素”。无零因子是对乘法的一个约束，它本质上是要求乘法封闭。有一类特殊的零因子满足/(a^n=0/)，它们被称为 幂零元 。

显然有无左零因子和有无右零因子是等价的，这样的环也称为 无零因子环 ，交换的无零因子环叫 整环 （domain）（有些教材还要求含单位元，这里不采用）。对无零因子环，若有/(ab=ac/)或/(ba=ca/)，由分配率显然有/(b=c/)，即 消去律 成立。反之若左（右）消去律成立，也容易得到环无零因子，由此消去律和无零因子是两个等价概念。

若对于无零因子环有左单位元/(e_l/)，由于/((ae_l-a)e_l=0/)，则有/(ae_l=a/)，故环有单位元，用同样的方法可证其左逆元也是右逆元。这个例子表现了零因子的概念在建立等式上的丰富作用，善于构造巧妙的表达式，可以得到很多有用的结论。有些场景下可能不存在单位元，对/(ab=a/)不能急于消去/(a/)，而是要迂回使用消去律，这个方法经常用到。比如若无零因子环有幂等元/(x^2=x/)，不能直接消去得到/(x=e/)，而是先乘上任意元素/(ax^2=ax/)，然后再消去/(x/)证明/(x/)就是单位元。考虑以下问题：

•若/(S/leqslant R/)，但它们的单位元不同，求证/(S/)的单位元是/(R/)的零因子；

•含有至少/(3/)个元素的布尔环不是整环；

•若有限环中有/(ab=1/)，则/(ba=1/)。（提示：参考Kaplanskey定理的证明）

1.3 特征

阶是群的重要参数，现在来看看加法群中元素的阶，如果其中有最大值/(n/)，由于加法群是交换群，用反证法可知所有元素的阶都是/(n/)的因子。加法群的阶在环中还有更多的性质，我们将最大的阶称为环的 特征 ，记作/(/text{Char}/:R/)，当然特征也可以是无穷。如果乘法有单位元且阶为/(n/)，则有/(na=(n1)a=0/)，故/(1/)的阶即是环的特征。特征为/(p/)，且恒有/(a^p=a/)的环叫/(p/)-环，可以证明/(p/)-环都是循环环（较复杂）。

环中的乘法运算有个很有用的性质，就是倍数可以任意移动组合（公式（5）），这个特征结合无零因子可以得到很好的性质。先假设环中有一个阶为/(n/)的元素/(a/)，那么根据/((na)b=a(nb)=0/)，容易知道/(b/)的阶为/(n/)的因子，并进而得知环中所有元素的阶都是/(n/)。再假设/(n/)不是素数，它有分解/(n=xy/)，则有/((na)a=(xa)(ya)=0/)，从而必有/(xa=0/)或/(ya=0/)，这与/(a/)的阶为/(n/)矛盾。综合以上分析可知，无零因子环元素的阶要么都是无穷，要么都是某个素数/(p/)，有限无零因子环的阶当然都是/(p/)。

•若交换环的特征为/(p/)，则有/((/sum{a_k})^p=/sum{a_k^p}/)；

•求证：/(p/)-环没有幂零元。

2. 除环和域

2.1 除环和域

有些环在乘法上有更多的性质，有必要专门讨论它们。对于那些有单位元的环，其中存在逆元的元素一般称为 单位 （unit）。容易证明环中的全体单位在乘法下构成群，它被称为 单位群 。对于有限环，总有/(a^m=a^n(m>n/geqslant 1)/)成立，如果/(a/)是非零因子，则有/(a^{m-n+1}=a/)。继而对任意/(x/)有/(a^{m-n}x=x/)，即得到/(a^{m-n}/)为单位元，而/(a^{m-n+1}/)是/(a/)的逆元。总结以上就得到，有限环的非零因子是单位。

除零因子外，每个元素都是单位的环称为 除环 或 体 （skew field），交换除环也叫 域 （field）。容易证明除环没有零因子，由此可知在去除零元素之后，乘法仍然是封闭的，它们能够形成一个群。数系是除环和域的典型代表，整数环有单位/(/{-1,1/}/)，有理数、实数、复数都是域的例子。由于域的乘法可交换，可以定义/(ab^{-1}=b^{-1}a/)为分式/(/dfrac{a}{b}/)，你可以证明一般方式的加法、乘法、除法规则在域里也是成立的。

•若环/(R/)中的任何非零元素/(a/)，都有唯一的/(b/in R/)使得/(aba=a/)，求证/(R/)为除环。（提示：先证无零因子）

你可能有一个疑问，存不存在除环呢？乘法有单位元和逆元，却不可交换的环存在吗？还记得第一章里介绍的四元群吗，由它们作为“超复数”的单位形成四元数/(/{a+bi+cj+dk/}/)，可以证明它就是非交换的除环。这是历史上首次发现的非交换除环，由哈密尔顿（Hamilton）首先发现，因此也叫哈密尔顿四元数除环。后面的课程中，还会介绍到它作为数满足的一般性质，这在历史上是一个重大的发现。对于有限除环，魏德邦（Wedderbum）证明了它的必定是交换的，故必然是域。由前面的讨论我们容易有，有限无零因子环必定是除环，再由魏德邦定理知它又必定是域。

Hamilton（1805 - 1865）

之前群的定义中，我们讨论了一次方程有解与群的等价性。在除环里也有类似的结论，而且所需条件更弱。首先除环中一次方程（7）都有解，反之若环中满足方程（7）其中之一有解，下面来看它是否是除环。首先要证无零因子，即对任意/(a,b/ne 0/)，证明/(ab/ne 0/)。可以构造一个含有/(ab/)而值为/(b/)（或/(a/)）的表达式，利用一次方程的有解性可有/(bc=d/)和/(ad=b/)，从而/(abc=ad=b/)，则环无零因子。接下来找单位元，设/(ax=a/)的解为/(e_r/)，利用消去律（见上面的讨论）可知/(e_r/)为右单位元。再由/(ax=e_r/)知任何元素/(a/)有右逆元，从而乘法（除去零元）是一个群，该环为除环。综合以上讨论，环为除环的充要条件是一次方程（7）之一恒有解（/(a/ne 0/)）。

/[ax=b,/quad ya=b/tag{7}/]

2.2 商域

域的结构是最常见的，它的结论比较丰富，我们希望能把一个环放在域中，以便获得更多的结论。显然不是所有的环都可以扩展为域，它至少要满足无零因子和可交换。自然地我们想问，是不是该先考虑无零因子的不可交换环扩展为除环，可惜这个结论已经有人举出反例了，比较复杂，这里仅当结论。那么无零因子可交换环（整环）是不是都能扩展为域呢？这里就来讨论这个问题。

要想成为域，需要补充单位元和逆元，但硬要把它们定义出来还是很困难的。回顾一下我们在实数系统介绍的扩展方法，可以用数对来定义扩展的数系，再将原数系嵌入到新数系中。添加单位元和逆元本质上需要做除法，和整数扩展为有理数的过程完全一样，定义元素对的集合/(/{(a,b)/}(a,b/in R, a/ne 0)/)。当/(ad=bc/)时，定义相等/((a,b)=(c,d)/)，直观上讲其实就是定义了分数/(/dfrac{b}{a}=/dfrac{d}{c}/)。

相等关系下的等价类正是我们期望的系统，首先证明新系统的如下加法和乘法定义是良性的，即等价类中代表元的选取不影响结果。然后证明，新系统在这个运算定义下形成一个域，最后通过映射/(a/to /dfrac{ad}{d}/)将环嵌入到这个域中。这就证明了无零交换环总可以扩展为域，这个域也叫环的 分式域 或 商域 。

/[/dfrac{b}{a}+/dfrac{d}{c}=/dfrac{bc+ad}{ac},/quad /dfrac{b}{a}/cdot/dfrac{d}{c}=/dfrac{bd}{ac}/tag{8}/]

3. 特殊环

3.1 循环环

循环群是最简单的群，那这里先分析一下加法群是循环群的环，它称为 循环环 ，设加法群的生成元为/(a/)。回顾一下循环群，若它的阶为无穷，它与整数群同构且同时/(-a/)也是生成元，若阶为有限/(n/)，它与/(n/)的剩余类群同构，且任何与/(n/)互素的剩余类都是生成元。显然整数集合/(Z/)和任何剩余类集合/(Z_n/)在加法和乘法定义下构成环，分别称为 整数环 和模/(n/) 剩余类环 ，下面就来分析一下循环环和它们之间的关系。

先来看循环环，它的所有元素是/(/{/cdots,-2a,-a,0,a,2a,/cdots/}/)或/(0,a,2a,/cdots,(n-1)a/)。它们在加法群下，每一个不同的阶仅有一个同构的循环群，但这一点在环里却是不成立的。现在来考虑循环环中的乘法，首先对任意两个元素有/((ma)(na)=(na)(ma)=(mn)a^2/)，故循环环必定是交换环。其次由乘法的封闭性，一定有/(a^2=ka/)，而反过来若在一个循环群上定义乘法/((ma)(na)=(mnk)a/)，它也一定构成环。由此可知，/(k/)的任何取值都等价于一个环结构，当然你要清楚，不同的/(k/)对应的环是有可能同构的。

对于无穷阶环，加法生成元只有/(/pm a/)，当/(|k|/)取不同值时，对应的环一定互不同构，而容易证明/(k/)和/(-k/)对应的环是同构的。对于/(n/)阶环，/(k/)只能取/(n/)个值，而这些值对应的环还有可能是同构的。使用初等数论的一些简单推导，容易证明可以通过选取适当的生成元，使得/(k/)为/(n/)的因子。从而/(n/)的每个因子代表了一类同构的环，同不同因子对应的环是不同构的。

这样循环环的所有同构环就清楚了，每一个非负整数对应一个无穷环，每一个因子对应一个/(n/)阶环。最后来看看整数环和剩余类环，显然它们的生成元满足/(k=1/)，而它们的子环满足/(k>1/)。/(Z/)的所有子环与正整数一一对应，/(Z_n/)的所有子环与/(n/)的正因子一一对应，而它们包含了除/(k=0/)之外的所有循环环。换句话说除/(k=0/)之外，每个循环环与一个/(Z/)或/(Z_n/)的子环同构。

现在做一些常规讨论，/(Z/)只有可逆元/(/pm 1/)，所有元素为非零因子，/(Z_n/)中与/(n/)互素的都是可逆元，而其它都是零因子。特别地，/(Z_p/)的每个元素可逆，故它是一个域，而且还是一个/(p/)-环。由于/(Z/)和/(Z_n/)都有单位元，单位元的阶就是它们特征，所以/(Z/)的特征为无穷，而/(/text{Char}/: Z_n=n/)。

3.2 多项式环

将环向多维空间扩展，是得到更多复杂环的常用方法，扩展的形式也是多种多样的。矩阵环可以得到非常丰富的环结构，简单一点的还有在线性空间的简单拓展，比如无理数环/(/{x+y/sqrt{2}/mid x,y/in/Bbb{Q}/}/)和复数环/(/{x+yi/mid x,y/in/Bbb{R}/}/)，特别地/(/{x+yi/mid x,y/in/Bbb{Z}/}/)叫做 高斯整环 。

线性扩展中最一般的当属多项式，多项式一直是代数中的重要概念，它是一个基本的代数对象，现在从环的角度来分析一下多项式系统。先从最常见的一元多项式说起，它是具有以下形式的表达式，其中/(a_k/)是环/(R/)的元素，/(a_kx^k/)称为/(k/)次项，/(a_k/)称为/(k/)次项系数，系数非零的最高次数称为多项式的次数。

/[f(x)=a_nx^n+/cdots+a_1x+a_0/tag{9}/]

大家最初是在域的环境下认识多项式的，这里的限制要求重新定义对多项式的一般认识。首先多项式中的加号和/(a_kx^k/)中的“乘号”目前仅是一个记号，两个多项式相等的充要条件是每一项的系数相等，而不是最终的值相等。现在需要重新定义运算，两个次数相同的项/(a_kx^k,b_kx^k/)之和为/((a_k+b_k)x^k/)，而两项/(a_ix^i,b_jx^j/)之积为/(a_ib_jx^{i+j}/)，两个多项式相乘时按分配率展开。以上定义对域上的环是不需要定义的，但在环下必须有这样的精确说明。

容易证明在环/(R/)上的多项式集合在以上加法和乘法定义下构成环，一般记作/(R[x]/)。显然/(R/)是/(R[x]/)的子环，故对/(R[x]/)成立的一般对/(R/)也一定成立，但反过来的结论一般要证明。有一些比较显然的结论，比如如果/(R/)有单位元则/(R[x]/)也有单位元，如果/(R/)可交换则/(R[x]/)也可交换，如果/(R/)为整环则/(R[x]/)也是整环。现在来看看/(R[x]/)的零因子有什么性质，假设/(f(x)g(x)=0/)，设/(g(x)/)的首项系数为/(g_n/)，则/(f(x)g_n/)的次数比/(f(x)/)小。如果再假设环可交换，则有/((g_nf(x))g(x)=0/)，用归纳法可知存在/(c/in R/)，使得/(cg(x)=0/)。总结以上讨论有，交换环/(R[x]/)的元素/(g(x)/)是零因子的充要条件是，存在/(cg(x)=0/)。

整数环的分解性（算术基本定理）是初等数论的重要内容，在一般环中仍然可以进行这样的讨论，后面会给出专题。除了多项式环，还有一个重要的高斯整数，也是重要的环。多项式要扩展成域，必定引入有理分式域。