【抽象代数】 08 - 域的扩张

1. 素域和单扩域

1.1 素域

域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若/(F/)是/(E/)的子域，/(E/)也叫/(F/)的 扩域 或 扩张 。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最简单的无穷域是有理数域，它是最小的数域，任何数域都包含有理数域；最简单的有限域是整数在素数/(p/)下的剩余类域/(Z_p/)。这两种域都不再有真子域，我们把没有真子域的域称为 素域 ，一般记作/(/triangle/)。

那么除了这两种熟知的素域外，还有别的素域吗？每个域都含有单位元/(e/)，由/(e/)生成的域就是所有的素域，而它又是某个生成环的商域，故我们可以从/(e/)的生成环/(Z'=/{ne/}/)讨论起。当/(/text{char}/triangle=/infty/)时，/(Z'/)与整数环/(Z/)同构，从而它们的商域同构，即/(/triangle/cong/Bbb{Q}/)。当/(/text{char}/triangle=p/)时，前面已经讨论过，这样的环/(Z'/)都同构于同余环/(Z_p/)，进而有/(/triangle/cong Z_p/)。这样看来，同构意义的下的素域只有/(/Bbb{Q}/)和/(Z_p/)，而且任何域都包含且仅包含一个素域。

1.2 单扩域

有了最简单的域，接下来就开始对域进行扩张，并需要研究新添加元素的性质，以及扩域的结构特点。在/(F/)的扩域/(E/)中取子集/(S/)，/(F/)中添加/(S/)后生成的扩域记作/(F(S)/)，要注意这个定义总是以扩域/(E/)的存在为前提的。我们来讨论这种扩域累加起来有什么性质，考察/(F(S_1)(S_2)/)，由定义知它是包含/(F,S_1,S_2/)的域，而/(F(S_1/cup S_2)/)是包含/(F,S_1/cup S_2/)的最小域，故有/(F(S_1/cup S_2)/subseteq F(S_1)(S_2)/)。同样也可以推到/(F(S_1)(S_2)/subseteq F(S_1/cup S_2)/)，这样就得到了公式（1）。

/[F(S_1)(S_2)=F(S_2)(S_1)=F(S_1/cup S_2)/tag{1}/]

以上结论说明扩域/(F(S)/)等价于有限步的局部扩张，而且扩张的顺序不影响结果。对局部扩张的研究会有助于整个扩域，特别地我们可以先专注于/(|S|=1/)的扩域/(F(/alpha)/)，它们被称为 单扩域 。由域的定义及分式的特点，容易知道/(F(/alpha)/)中的元素都有格式/(/dfrac{f(/alpha)}{g(/alpha)}/)，其中/({f(/alpha)},{g(/alpha)}/)为/(F/)中的多项式。所有分式构成了单扩域，但不同分式是有可能指向相同元素的，下面我们就从这里出发，研究单扩域的结构。

多项式是扩域中的基础结构，对它的讨论可以帮助我们分析域的结构。将/(/alpha/in E/)代入/(F/)中的所有多项式/(F[x]/)，得到的值可能两两不同，也可能出现重复。当出现重复时，将多项式相减就会得到/(f(/alpha)=0/)，存在这样多项式的/(/alpha/)称为/(F/)的 代数元 ，否则称为 超越元 。代数元和超越元存在着本质的差异，需要从这个角度讨论单扩域的结构。对于有理数域在实数域内的扩张，代数数就是代数元，超越数就是超越元，这里实际上是对它们的扩展讨论。

对于诸多满足/(f(/alpha)=0/)的多项式，总可以找到次数最低的一个首/(1/)多项式。容易证明对代数元/(/alpha/)，这个多项式存在且唯一，它被称为/(/alpha/)在/(F/)上的 最小多项式 /(p(x)/)。最小多项式的次数也被称为代数元的 次数 ，显然/(F/)中元素的次数都为/(1/)。最小多项式有些简单的性质，首先它在/(F/)上是不可约的，否则它必有一个因子满足/(g(/alpha)=0/)，与最小多项式的定义矛盾。其次，对任何满足/(f(/alpha)=0/)的多项式，必有/(p(x)/mid f(x)/)，否则使用带余除法可构造出次数更小的多项式满足/(r(x)=0/)。

围绕着元素类型或最小多项式，单扩域的结构就比较明显了。虽然直觉已经告诉了你最终答案，但还是要用严格的推理来验证猜想。推理方法当然是从定义合适的同态映射开始，先验证生成环的同构，再推演到商域的同构，请自行验证。当/(/alpha/)为超越元时，生成环显然和/(F[x]/)同构，从而/(F(/alpha)/)同构于其商环/(F(x)/)。当/(/alpha/)为代数元时，可以证明生成环/(F[x]/)同构于/(F[x]//langle p(x)/rangle/)，由于/(p(x)/)不可约，该表达式就是一个域，故有/(F[/alpha]=F(/alpha)/)。从而代数元的单扩域就是以/(p(x)/)为模的多项式环（公式（2）），这个结论展示了单代数扩域的简洁结构，也说明了研究代数扩域的重要性。

/[F(/alpha)=F[/alpha]/cong F(x)//langle p(x)/rangle/tag{2}/]

以上的结果还表明，若/(/alpha/)的次数为/(n/)，则/(F(/alpha)/)的任何元素都是某个次数次数小于/(n/)的多项式的值/(f(/alpha)=a_0+a_1/alpha+/cdots+a_{n-1}{/alpha}^{n-1}/)，换句话说每个元素都是/(1,/alpha,/cdots,{/alpha}^{n-1}/)在/(F/)上的线性组合，且容易证明表示法唯一。用线性代数的语言就是，单代数扩域/(F(/alpha)/)是/(F/)上的一个/(n/)维空间，空间的基为/(1,/alpha,/cdots,{/alpha}^{n-1}/)。从这个角度分析单代数扩域也是很有用的。

2. 代数扩域

2.1 代数扩域

在弄清楚单代数扩域的结构后，我们希望进一步研究由更多代数元生成的扩域，或所有元素都是代数元的扩域。首先一个自然的问题是，这两种扩域一样吗？为讨论方便，我们定义后者为 代数扩域 ，含有超越元的扩域则叫 超越扩域 。由于代数扩域总是由代数元生成的，刚才的问题自然变成：由代数元集合/(S/)生成的扩域/(F(S)/)是否一定是代数扩域？直觉告诉我们这个结论是成立的，但仔细琢磨却又不那么明显。现在我们分两步来证明这个猜测，先考虑/(S/)为有限集的场景，然后再推广到无穷集。

单代数扩域的线性空间结构提示我们研究更一般扩域的维数，如果扩域/(E=F(S)/)是/(F/)上的线性空间，这个空间的维数被称为/(E/)在/(F/)上的 次数 ，记作/([E:F]/)。/([E:F]/)有限时，/(E/)称为/(F/)的 有限次扩域 ，否则叫 无限次扩域 。通过线性代数的简单推演，我们可以得到次数的累加性（公式（3））。以有限次扩域为例，设/(E/)在/(K/)上的基为/(a_1,/cdots,a_m/)，/(K/)在/(F/)上的基为/(b_1,/cdots,b_n/)，容易证明/(a_ib_j/)就是/(E/)在/(F/)上的基（用线性表示并证明无关性）。

/[[E:F]=[E:K][K:F]/tag{3}/]

对任何/(n/)次扩域，考察任意元素的幂次/(1,/alpha,/cdots,/alpha^n/)，这/(n+1/)个元素必定是线性相关的，从而/(/alpha/)必定是代数元。这就是说有限次扩域总是是代数扩域，可以用它来判断代数扩域。另一方面，当代数元集合/(S/)为有限集时，/(F(S)/)可以通过有限次的单代数扩域得到，由公式（3）知道/(F(S)/)是/(F/)的有限次扩域，从而它也是代数扩域。这个结论直接说明了，代数元的四则运算还是代数元。而当/(S/)为无穷集时，/(F(S)/)中元素都能表示成/(F/cup S/)中元素的有限个四则运算，从而也是代数元。结合以上两点就得到结论，/(F(S)/)总是代数扩域。

有了这个基本结论，你可以很容易地证明，/(F/)的代数扩域的代数扩域还是/(F/)的代数扩域。如果扩域/(E/)不是代数扩域，我们可以取出其中的所有代数元，容易证明它们组成的集合/(K/)是一个域，从而/(K/)是/(F/)的代数扩域。/(K/)是/(E/)中最大的代数扩域，/(E-K/)中的元素/(/alpha/)都是超越元，从而/(E/)是/(K/)的 纯超越扩域 。这样对任何扩域的分析，都可以分成对代数扩域和纯超越扩域的讨论了。

鉴于多项式的特殊地位，有一类与之相关的代数扩域，这里需要特别讨论一下。多项式最重要的自然是它的根，根/(/alpha/)可以从/(f(x)/)中分解出一次项/((x-/alpha)/)，如果/(f(x)/)可以完全分解为一次项，它的所有根就代表了这个多项式。对任何多项式都可以完全分解的域叫 代数闭域 ，显然它的任何代数扩域都还是它自身，它已经无法再扩张。

代数闭域的条件大部分时候还是太强了，也许讨论对某个多项式无法扩张的域对我们更有用。试想/(F/)上的某个多项式/(f(x)/)，如果/(f(x)/)不能完全分解，取其中的不可约因式/(p(x)/)，以它为最小多项式进行扩张，扩域中/(p(x)/)一定是可约的。如此在有限步后，/(f(x)/)就可以在扩域/(E/)中完全分解，而且同构意义下/(E/)是唯一的，它被称为/(f(x)/)在/(F/)上的 分裂域 。分裂域其实就是/(f(x)/)的所有根的生成的域/(F(x_1,/cdots,x_n)/)，故它也叫 根域 ，分裂域的定义使得对多项式的讨论更加方便，进一步的内容将在下一篇中继续讨论。

2.2 尺规作图问题

介绍了扩域的基本概念后，我们来看看它在作图上的一个应用，以锻炼用抽象概念解决实际问题的能力。尺规作图是传统的作图方法，它使用简单的工具得到复杂而精确的图形。即便如此，历史上任然有一些顽固的作图问题困扰着人们，经典的几个被称为“ 古典三大作图难题 ”。它们分别是：三等分角、化圆为方、倍立方，这里我们用扩域的语言来论证它们不能由尺规作出。纵使已经被证明了不可行性，但仍然有人孜孜不倦地做着尝试，科学精神的树立有时候比勤恳更重要。

尺规作图究竟是什么，一般书上对这个问题并没有说清，但它对理解作图难题的不可能性非常重要，以下是一些个人理解。首先我们假定作图的目的是为了得到某些确切的点，而不是一条直线或曲线，否则随意画一条线或一个圆，作图难题要求的量其实就在其中。其次我们要澄清，这里的所有讨论仅限于三大难题或类似的问题，精确地讲就是，作图的已知条件只是一些线段或角。因为事先如果有一些辅助性的曲线，这些难题其实是可以作出的。再次我们还要假定作图的每一步都是从定点出发（线段的端点、角的三个点），不能从线段或角上非给定点作图。有人可能有跟我一样的疑问，如何看待那些任意取点却作出定点的情况（比如作线段中点）？这里我没有作完整的推演，只是猜想用定点同样可以作出那些定点，具体论证且当是一个疑问吧。

现在来看看尺规具体可以作什么：直尺用来画经过两点的直线，圆规只能以某点为圆心、以给定的两点为半径画圆。既然初始条件是平面上的一些点，可以选定其中的两个点作为实数轴上的/(0/)和/(1/)，这样所有点都可以看出复平面上的一个向量（复数），记这些复数的集合为/(B/)。接下来按照前面的描述，用尺规作出确定的直线和圆，得到更多的确定的点，如果把所有可在有限步内可作出的确定点集（复数）记为/(S/)，点/(z/)可被作出的充要条件是/(z/in S/)。

根据解析几何的知识，其实我们可以从已知点出发计算出新点（复数）的坐标，通过简单的验证你可以发现，新的复数总可以表示为/(B/)中元素的四则运算、共轭或平方根的组合（作为习题）。这就是说/(S/)包含在/(B/)关于四则运算、共轭或平方根的闭包中，反之也容易证明任意已知复数的四则运算、共轭或平方根都可以尺规作图（作为习题），这就是给了/(S/)一个确定的定义。

下面尝试用扩域的语言来描述/(S/)，首先容易知道有理数都可以被作出，其次共轭运算在四则运算上是可以保持的，所以可以先定义第一个扩域/(F_1/)（式（4））。为了在平方根上封闭，定义扩域序列/(F_k/)（式（4）），容易证明/(S/)中的任意元素迟早会出现在某个/(F_k/)中，故有/(/cup F_k=S/)。进一步地，/(F_k/)和/(F_{k+1}/)之间其实可以插入有限个单扩域（式子（5））。每个扩域的次数为/(1/)或/(2/)，所以/(S/)中的任何数在/(F_1/)中的次数为/(2/)的幂次，这也就是可作图的充要条件。

/[F_1=/Bbb{Q}(B,/bar{B}),/quad F_{k+1}=F_k(/sqrt{F_k})/tag{4}/]

/[F_k=K_1/triangleleft K_2/triangleleft /cdots/triangleleft K_n=F_{k+1},/quad K_{i+1}=K_i(/sqrt{a_i})/tag{5}/]

现在回到三大作图难题，其中化圆为方和倍立方都是给定两个点，分别作出/(/sqrt[3]{2}/)和/(/pi/)。这两个问题中/(F_1=/Bbb{Q}/)，可作图的只能是在/(/Bbb{Q}/)上/(2^n/)次不可约多项式的根。/(/sqrt[3]{2}/)的最小多项式是/(x^3-2/)，而林德曼证明了/(/pi/)是超越数，故它们都不可以被作出。对三等分角，举/(/dfrac{/pi}{3}/)为例，它给定了复数/(1+/sqrt{3}i/)，容易有/(F_1=/Bbb{Q}(/sqrt{3}i)/)。另外利用三倍角公式知所求复数/(x_0/)是/(f(x)=8x^3-6x-1/)的根，而/(/sqrt{3}i/)不是/(f(x)/)的根，故有/([F_1(x_0):F_1]=3/)，从而/(x_0/)也不可被作出。但并不是说所有角都不可以三等分，比如/(/dfrac{/pi}{3},/dfrac{3/pi}{10}/)都是可以作出的，请自行验证。

3. 有限域

我们已经了解了域的一般性结构，现在需要对一些常用的、简单的域做进一步分析，这些域有着更特殊的性质。有限域是比较有用的一类域，在编码学等离散数学中有着广泛应用。由前面的知识我们可以知道，有限域/(F/)的特征为素数/(p/)，/(F/)中包含一个素域/(/triangle=Z_p/)，且它是/(/triangle/)的有限次扩域，若设/([F:/triangle]=n/)，则/(F/)共有/(p^n/)个元素。这些是有限域比较直观的特点，它有时也被叫做 伽罗瓦域 ，记为/(GF(p^n)/)。现在有两个比较自然的问题：/(p^n/)阶的域一定存在吗？同构意义下它是否唯一？下面将对其进行分析。

域和环最大的区别在于，域在乘法上构成一个群，这是域有诸多结构特征的根本原因。尤其在有限域里，非零元素组成一个有限群，从而非零元素都满足/(a^{q-1}=1,(q=p^n)/)，进而任何元素都满足/(a^q=a/)。由于这/(p^n/)个元素互不相同，从而它们就是多项式/(f(x)=x^q-x/)的根，该域就是/(f(x)/)在/(Z_p/)上的分裂域。前面我们已经知道分裂域的唯一性，所以/(p^n/)在同构意义下是唯一的。

以上讨论也启发了存在性的证明，对多项式/(f(x)=x^q-x/)，设它在/(Z_p/)上的分裂域是/(F/)。在/(F/)上考察/(f(x)/)的任意两个根/(/alpha,/beta/)，容易验证/(/alpha-/beta,/dfrac{/alpha}{/beta}/)也是/(f(x)/)的根，从而所有根构成一个域。另一方面，易知/(f'(x)=-1/)，从而/(f(x)/)没有重根，故根组成的域有/(p^n/)个元素，这就证明了/(p^n/)阶域的存在性。

进一步讨论域的乘法群，设有非零元素在乘法上的最大阶为/(m/)，首先显然有/(m/mid q-1/)。其次在群论中我们已经知道，任何元素的阶都是/(m/)的因子，从而它们都满足/(f(x)=x^m-1=0/)的根。要使/(f(x)/)有/(q-1/)个不同的根，至少必须/(m/ge q-1/)，所以就有/(m=q-1/)。这个结论说明了非零元素在乘法上是一个循环群，令/(/alpha/)是其中阶为/(q-1/)的元素，则容易证明该域是/(/alpha/)在/(Z_p/)上生成的单扩域（公式（6）），/(/alpha/)被称为域的 原根 。

/[GF(p^n)=/triangle(/alpha)/tag{6}/]

现在来看看有限域/(F/)有哪些子域，首先子域的阶必然是/(p^m,(m/leqslant n)/)，在乘法群中还有/(p^m-1/mid p^n-1/)，由初等数论的知识有/(m/mid n/)。这个结论还可以通过扩域的次数来证明，因为/([GF(p^n):Z_p]=n/)，又/([GF(p^m):Z_p]=m/)，故显然有/(m/mid n/)。反之当/(m/mid n/)时，我们需要验证/(p^m/)阶子域是否存在。其实前面的证明已经给出了思路，由于/(p^m-1/mid p^n-1/)，故/((x^s-x)/mid (x^q-x)/)，从而/(x^s-x/)在/(F/)中可完全分解，/(s/)个不同的根组成的域就是要找的子域。这就证明了/(F/)的子域的充要条件是/(m/mid n/)，其实由/((x^s-x)/)是/((x^q-x)/)的因子，显然/(p^m/)阶子域也是唯一的。

•从原根出发，讨论有限域及其子域的结构和元素。

4. 可离扩域

4.1 可离元

前面看到，有限域总是一个素域的单扩域，而单扩域的简单结构是我们所喜爱的，这就不禁想问：什么样的扩域是单扩域？这个问题比较难回答，但我们可以给出一类常见的代数扩域，它总是单扩域。有一类不可约多项式在其分裂域中没有重根，这一点对讨论单扩域非常有用。为此定义最小多项式没有重根（在其分裂域中）的代数元为 可离元 ，每个元素都是可离元的扩域称为 可离扩域 ，每个不可约因式都没有重根的多项式叫 可离多项式 。在证明单扩域的结论之前，我先来简单讨论一下可离元和可离扩域的性质，这当然要从没有重根的不可约多项式研究起。

设/(p(x)/)是/(F/)上的不可约多项式，/(p(x)/)及/(p'(x)/)的表达式如公式（7）。/(p(x)/)有重根的充要条件是/(d(x)=(p(x),p'(x))/)的次数大于/(0/)，由/(p(x)/)不可约知/(d(x)=ap(x),(a/in F)/)，再由/(d(x)/mid p'(x)/)得到/(p'(x)=0/)，即/(a_1=2a_2=/cdots=na_n=0/)。域的特征只有/(/infty/)和/(p/)两种，当/(/text{char}F=/infty/)时，只能有/(a_1=a_2=/cdots=a_n=0/)，这与/(p(x)/)不可约矛盾，故这种域的不可约多项式都没有重根。当/(/text{char}F=p/)时，可以得到除/(k/mid p/)外都有/(a_k=0/)，故/(p(x)/)有形式/(g(x^p)/)，这就是不可约多项式有重根的必要条件。

/[p(x)=a_0+a_1x+/cdots+a_nx^n,/quad p'(x)=a_1+2a_2x+/cdots+na_nx^{n-1},/quad a_k/in F/tag{7}/]

有了这个结论，我们就可以继续研究可离元的特点。既然特征为/(/infty/)的域的不可约多项式都没有重根，那么它的所有代数元都是可离元，所有代数扩域都是可离扩域。我们现在只需研究特征为/(p/)的域/(F/)，并设/(/alpha/)是/(F/)的可离元，/(/alpha/)当然也是/(F/)任何扩域上的可离元。考察多项式（8），它是扩域/(F(/alpha^p)/)上的多项式，则/(/alpha/)在/(F(/alpha^p)/)上的最小多项式满足/(p(x)/mid f(x)/)。考虑到/(/alpha/)也是/(F(/alpha^p)/)上的可离元，故必然有/(p(x)=x-/alpha/)，这就得到/(/alpha/in F(/alpha^p)/)，从而/(F(/alpha)/subseteq F(/alpha^p)/)。/(F(/alpha^p)/subseteq F(/alpha)/)是显然的，故有结论/(F(/alpha) = F(/alpha^p)/)。

/[f(x)=(x-/alpha)^p=x^p-/alpha^p/tag{8}/]

反之，若/(/alpha/)是/(F/)的不可离元，则它的最小多项式有形式/(g(x^p)/)。容易证明/(g(x)/)也是/(F/)上的不可约多项式，而/(g(/alpha^p)=0/)，故/(g(x)/)是/(/alpha^p/)在/(F/)上的最小多项式。/(g(x)/)和/(g(x^p)/)的次数明显不同，从而/(F(/alpha^p)/)和/(F(/alpha)/)也不可能相同。正反两方面的证明就得到了：/(/alpha/)是/(F/)上的可离元的充要条件是公式（9）成立，这个结论对下面的讨论将很有用。

/[F(/alpha) = F(/alpha^p)/tag{9}/]

有一个基本的问题是，可离元的四则运算还是可离元吗？或等价命题：若/(/alpha,/beta/)为/(F/)上的可离元，/(F(/alpha,/beta)/)是可离扩域吗？考虑后一命题，即问/(/gamma/in F(/alpha,/beta)/)是/(F/)的可离元吗？首先/(/gamma/)当然是/(F(/alpha,/beta)=F(/alpha)(/beta)/)上的可离元，如果要验证我们的猜想，可以先证明更一般的命题：若/(/alpha/)是可离扩域/(F(/beta)/)上的可离元，则/(/alpha/)也是/(F/)上的可离元。可离元在扩域中当然也是可离元，这个命题是问这个传递性在一定条件下能否逆转？对/(/text{char}F=/infty/)的场景，这一系列结论显然成立，下面的讨论将只针对/(/text{char}F=p/)的域。

因为/(/alpha/)是/(F(/beta)/)上的可离元，由刚才的结论知/(F(/alpha,/beta)=F(/alpha^p,/beta)/)，而我们试图证明/(F(/alpha)=F(/alpha^p)/)。可以继续将这个猜想往前推，由于/(F(/alpha^p)/subseteq F(/alpha)/)且/(F(/alpha)/)是/(F(/alpha^p)/)的扩域，故要证的结论等价于/([F(/alpha):F(/alpha^p)]=1/)，继而等价于式子（10）。最后这个命题其实是要讨论/(/beta/)在/(F(/alpha)/)和/(F(/alpha^p)/)上的最小多项式/(h(x),g(x)/)次数相等，而显然有/(h(x)/mid g(x)/)，故只需证/(g(x)/mid h(x)/)。类似于前面的方法，其实容易证明/(h^p(x)/)是/(F(/alpha^p)/)上的多项式，而显然/(h^p(/beta)=0/)，再加上/(g(x)/)无重根，只可能是/(g(x)/mid h(x)/)。这就证明了我们的猜想，以及一切的推论，可离元的四则运算还是可离元。

/[[F(/alpha,/beta):F(/alpha)]=[F(/alpha^p,/beta):F(/alpha^p)]/tag{10}/]

4.2 可离扩域和完全域

现在是时候讨论可离扩域和单扩域之间的关系了，我们早就知道有限域一定是单扩域，现在只需研究无限域。进一步地我们还需把扩域限定在有次限扩域，并由归纳法容易知道，只需证明/(F(/alpha,/beta)/)是单扩域（/(/alpha,/beta/)为/(F/)分离元），那么任何有限次分离扩域都是单扩域。要证/(F(/alpha,/beta)/)是单扩域，我们需要找到该单扩域的生成元/(/theta/)，它由/(/alpha,/beta/)及/(F/)的元素组成且又能用来表示/(/alpha,/beta/)。这样的构造有很多可能，但我们其实只需简单构造一个即可，取/(/theta=/alpha+k/beta,(k/in F)/)，由/(/alpha=/theta-k/beta/)知只需证明/(/beta/in F(/theta)/)即可。

令/(/alpha,/beta/)在/(F/)上的最小多项式分别是/(p(x),q(x)/)，由于/(F(/theta)/subseteq F(/alpha,/beta)/)，则/(q(x)/in F(/theta)[x]/)，要证/(/beta/in F(/theta)/)，只需在/(F(/theta)/)上构造一个与/(q(x)/)仅有一个共同根/(/beta/)的多项式/(h(x)/)。这时候需要借助/(p(x)/)，为使得/(h(/beta)=0/)，自然可以令/(h(x)=p(/theta-kx)/)。为使得/(h(x)/)不含/(q(x)/)的其它根/(/beta_i/)，还得要求/(/theta-k/beta_i/)不等于/(p(x)/)的任意根/(/alpha_j/)，由于/(/beta_i,/alpha_j/)的个数有限，在/(F/)中选择满足条件的/(k/)还是可行的。这就构造出了满足条件的/(/theta/)使得/(F(/theta)=F(/alpha,/beta)/)。

刚才我们证明了有限次分离扩域必是单扩域，并且给出了分离扩域的一些判定条件。其实有一些常用的域，它们的扩域都都是分离扩域，这使得讨论更加简单，为此我们定义这样的域为 完全域 或 完备域 。前面已经知道/(/text{char}F=/infty/)的域就是完全域，现在来研究一下/(/text{char}F=p/)的完全域的充要条件。完全域要求不存在形式为/(g(x^p)/)的不可约多项式，容易看出如果/(g(x)/)的系数都是/(a_k^p/)的形式，/(g(x^p)/)必定是/(h^p(x)/)的形式，从而/(g(x^p)/)可约。也就是说如果/(F/)的每个元素都是某个元素的/(p/)次幂，/(F/)一定是完全域。

反之若/(F/)是完全域，对任意元素/(/alpha/)，/(f(x)=x^p-/alpha/)的分裂域中总有/(/beta/)满足/(f(/beta)=0/)。而/(f(x)=(x-/beta)^p/)，故/(/beta/)在/(F/)上的最小多项式只能是/(x-/beta/)，这就说明/(/beta/in F/)，即证明了任何元素都是某个元素的/(p/)次幂。综合这两点分析，/(/text{char}F=p/)的完全域的充要条件是：任何元素都是某个元素的/(p/)次幂。

• 求证：有限域都是完全域。