【线性代数】 03 - 行列式

1. 行列式的定义

线性方程组中比较常见的是/(m=n/)的情况，我们想知道这种方程组什么时候有唯一解？并且如何用系数表示这个唯一解？对于元数较少的方程，可以直接用消元法得到解的具体公式，比如（1）式就是二元方程组的公式解。公式中重复出现了模式/(ab-cd/)，这个模式不仅能判断方程组是否有唯一解，还能直接表示解的公式。

/[x_1=/dfrac{b_1a_{22}-b_2a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}};/quad x_2=/dfrac{a_{11}b_2-a_{21}b_1}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}/tag{1}/]

考虑到二元方程组的系数矩阵（下式左），上面的模式表现为对角线积的差。同样对三元方程组，我们也可以得到重复的模式，分母为/(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}/)，参照系数矩阵（下式右）可知，模式表现为正反斜线的差。

我们现在自然想问，对任意/(m=n/)的线性方程组，是否都有这样的模式？它的一般表达式是什么？经过考察更多元的方程组，数学家们还真找到了一般的表达式，式子由所有/(a_{1j_1}a_{2j_2}/cdots a_{nj_n}/)形式的乘积组成，其中/((j_1j_2/cdots j_n)/)是/(1/sim n/)的一个排列。另外，每一项的符号由排列/((j_1j_2/cdots j_n)/)的逆序数/(/tau(j_1j_2/cdots j_n)/)决定，如果逆序数为偶数则为正，否则为负。设系数矩阵为/(A/)，则这个表达式被称为/(A/)的 行列式 （determinant），记作/(|A|/)，总结有它的值为公式（2）。

/[|A|=/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1n}//a_{21}&a_{22}&/cdots&a_{2n}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{n1}&a_{n2}&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}=/sum_{j_1j_2/cdots j_n}{(-1)^{/tau(j_1j_2/cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}/cdots a_{nj_n}}/tag{2}/]

逆序数的概念之前介绍过，这里再简单阐述一下。排列/((j_1j_2/cdots j_n)/)中，如果有/(p<q/)但/(j_p>j_q/)，则/(j_pj_q/)称为一个 逆序 ，所有逆序的个数叫排列的 逆序数 ，记作/(/tau(j_1j_2/cdots j_n)/)。在实际应用场合，其实更有用的是逆序数的奇偶性，对应就有 奇排列 和 偶排列 的概念。容易证明，任意两数的对换会改变排列的奇偶性，而两个排列之间都可以通过一系列对换进行转换，故奇偶性也可以通过对换次数来判断。

行列式的项数正是全排列的个数/(n!/)，并且显然其中奇偶排列各占一半。行列式的每一项是在每一行取列号不同的元素，其实它等价于取/(n/)个行列号都不同的元素/(a_{x_1y_1}a_{x_2y_2}/cdots a_{x_ny_n}/)，特别地它还等价于在每一列中取行号不同的元素/(a_{i_11}a_{i_22}/cdots a_{i_nn}/)。由于/(a_{x_py_p},a_{x_qy_q}/)对调后/((x_1x_2/cdots x_n)/)和/((y_1y_2/cdots y_n)/)的奇偶性同时变化，故它们的和是不变的，这样就得到公式（3）的关系。

/[(-1)^{/tau(x_1x_2/cdots x_n)+/tau(y_1y_2/cdots y_n)}=(-1)^{/tau(i_1i_2/cdots i_n)}=(-1)^{/tau(j_1j_2/cdots j_n)}/tag{3}/]

行列式最初被发现时，只是为了表达线性方程组的解，但在后面的线性变换和空间的度量中，它却成了不可或缺的工具。行列式定义的计算量比较大，我们往往只能用它来计算一些简单矩阵的行列式，比如可以直接计算如下 上（下）三角形行列式 。

/[/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1n}//0&a_{22}&/cdots&a_{2n}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//0&0&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}=/begin{vmatrix}a_{11}&0&/cdots&0//a_{21}&a_{22}&/cdots&0///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{n1}&a_{n2}&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}=a_{11}a_{22}/cdots a_{nn}/tag{4}/]

•求行列式：/(/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1(n-1)}&a_{1n}//a_{21}&a_{22}&/cdots&a_{2(n-1)}&0///vdots&/vdots&/ddots&/vdots&/vdots//a_{n1}&0&/cdots&0&0/end{vmatrix}/)，/(/begin{vmatrix}0&a_1&0&/cdots&0//0&0&a_2&/cdots&0///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//0&0&0&/cdots&a_{n-1}//a_n&0&0&/cdots&0/end{vmatrix}/)，/(/begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&a_4&a_5//b_1&b_2&b_3&b_4&b_5//0&0&0&c_1&c_2//0&0&0&d_1&d_2//0&0&0&e_1&e_2/end{vmatrix}/)。

2.行列式的初等变换

既然三角形行列式比较容易计算，我们希望通过初等变换将行列式三角化，为此需要了解初等变换对行列式的影响。首先根据定义容易知道，对行列式的某一行（列）乘上常数/(k/)，行列式的值也变成/(k/)倍（公式（5））。从而如果有某行（列）全为/(0/)，行列式的值也为/(0/)。另外，将行列式的两行（列）交换，将翻转每一项的奇偶性，故行列式的值取相反数（公式（6））。从而如果某两行（列）相等，行列式值为/(0/)，再结合公式（5）知，某两行（列）成比例的行列式值也为/(0/)。

/[/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1n}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//ka_{i1}&ka_{i2}&/cdots&ka_{in}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{n1}&a_{n2}&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}=k/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1n}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{i1}&a_{i2}&/cdots&a_{in}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{n1}&a_{n2}&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}/tag{5}/]

/[/begin{vmatrix}/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{i1}&a_{i2}&/cdots&a_{in}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{j1}&a_{j2}&/cdots&a_{jn}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots/end{vmatrix}=-/begin{vmatrix}/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{j1}&a_{j2}&/cdots&a_{jn}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{i1}&a_{i2}&/cdots&a_{in}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots/end{vmatrix}/tag{6}/]

第三个初等变换是将行（列）的倍数加到另一行（列），而首先由定义知，在在一行（列）同时加上一些数，等于两个行列式的和（公式（7））。从而第三个初等变换得到两个行列式（公式（8）），第一个是它本身，第二个的第/(j/)行是第/(i/)行倍数，故为/(0/)。

/[/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1n}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//b_1+c_1&b_2+c_2&/cdots&b_n+c_n///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{n1}&a_{n2}&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}=/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1n}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//b_1&b_2&/cdots&b_n///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{n1}&a_{n2}&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}+/begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&/cdots&a_{1n}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//c_1&c_2&/cdots&c_n///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{n1}&a_{n2}&/cdots&a_{nn}/end{vmatrix}/tag{7}/]

/[/begin{vmatrix}/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{i1}&a_{i2}&/cdots&a_{in}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{j1}+ka_{i1}&a_{j2}+ka_{i2}&/cdots&a_{jn}+ka_{in}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots/end{vmatrix}=/begin{vmatrix}/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{i1}&a_{i2}&/cdots&a_{in}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_{j1}&a_{j2}&/cdots&a_{jn}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots/end{vmatrix}/tag{8}/]

由上面的讨论可知，初等变换（不包括乘以/(0/)）只会使行列式的值乘以一个非零值，如果我们只关心行列式是否为/(0/)，初等变换并不影响结果。具体到/(m=n/)的线性方程组中，用初等变换将系数矩阵变为上三角形，方程有唯一解的充要条件是对角线都是非零值，这就等价于原系数矩阵的行列式非零。对/(n/)维线性空间，任意/(n/)个向量线性无关的充要条件是：坐标矩阵的行列式非零，两组基之间的 过渡矩阵 的行列式显然非零。

灵活使用初等变换，可以简化行列式的求解，有些问题还需要较强技巧，考虑以下问题。

•计算行列式：/(/begin{vmatrix}/lambda&a&a&/cdots&a//a&/lambda&a&/cdots&a///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a&a&a&/cdots&/lambda/end{vmatrix}/)，/(/begin{vmatrix}x_1-a_1&x_2&x_3&/cdots&x_n//x_1&x_2-a_2&x_3&/cdots&x_n///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//x_1&x_2&x_3&/cdots&x_n-a_n/end{vmatrix}/)，/(/begin{vmatrix}a_1&a_2&a_3&/cdots&a_n//b_2&1&0&/cdots&0//b_3&0&1&/cdots&0///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//b_n&0&0&/cdots&1/end{vmatrix}/)；

•记/(A/)的每个元素加上/(t/)后的矩阵为/(A(t)/)，求证：/(|A(t)|=|A|+t/sum/limits_{i=1}^n/sum/limits_{j=1}^n{A_{ij}}/)。

3. 行列式的分解

3.1 按一行（列）展开

如果要继续研究行列式，一个容易想到的方向就是行列式的分解。对行列式的/(n!/)项，也许我们可以对它们进行分类和聚拢，从而得到有意义的分割。根据行列式的定义，每一项其实是在每一行（列）中各取一个元素，一个比较自然的分割方法就是：按第/(i/)行（/(j/)列）的元素分成/(n/)类，而含有/(a_{ik}/)（/(a_{kj}/)）的项属于一类。设同一类项的和为/(a_{ik}A_{ik}/)（/(a_{kj}A_{kj}/)），则有下式成立，其中其中/(A_{ij}/)称也为/(a_{ij}/)的 代数余子式 。

/[|A|=/sum_{k=1}^n{a_{ik}A_{ik}}=/sum_{k=1}^n{a_{kj}A_{kj}}/tag{9}/]

为了方便讨论，把/(|A|/)去除第/(i/)行、第/(j/)列后的行列式叫做/(a_{ij}/)的 余子式 （cofactor），并记为/(M_{ij}/)。仔细考察/(A_{ij}/)的每一项，根据行列式的定义，它们正好与/(M_{ij}/)的每一项一一对应。只不过在/(A_{ij}/)中是/(a_{1j_1}/cdots a_{ij}/cdots a_{nj_n}/)的奇偶性，而在/(M_{ij}/)中是/(a_{1j_1}/cdots a_{(i-1)j_{i-1}}a_{(i+1)j_{i+1}}/cdots a_{nj_n}/)的奇偶性。容易证明两者逆序数相差/(i+j/)，从而有/(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}/)，公式（9）可以改写为公式（10）。

/[|A|=/sum_{k=1}^n{(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik}}=/sum_{k=1}^n{(-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}}/tag{10}/]

公式（10）以一行（列）展开行列式，它给出了计算行列式的一个降阶方法，在某些形式的行列式中非常有用。比如当行列式的某行（列）的非零数很少时（或者在一些初等变换之后），那么以这一行（列）展开计算就很快速。尝试计算以下行列式：

•计算行列式：/(/begin{vmatrix}a&b&0&/cdots&0//0&a&b&/cdots&0///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//0&0&0&/cdots&b//b&0&0&/cdots&a/end{vmatrix}/)，/(/begin{vmatrix}1&2&3&/cdots&n//n&1&2&/cdots&n-1///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//2&3&4&/cdots&1/end{vmatrix}/)；

•求证：/(/begin{vmatrix}x&0&/cdots&0&a_0//-1&x&/cdots&0&a_1//0&-1&/cdots&0&a_2///vdots&/vdots&/ddots&/vdots&/vdots//0&0&/cdots&-1&x+a_{n-1}/end{vmatrix}=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+/cdots+a_1x+a_0/)。

以下左式是著名的 范德蒙行列式 （Vandermonde），在每一行上减掉上一行的/(a_1/)倍，第/(1/)列只有/(a_{11}/)非零，故行列式等于/(M_{11}/)。/(M_{11}/)每一列提取出公倍数/(a_j-a_1/)就得到/(a_2,/cdots,a_n/)上的范德蒙行列式，以此类推就得到/(n/)阶范德蒙行列式的值（公式（11））。由公式（11）可知，范德蒙行列式等于/(0/)的充要条件是存在/(a_i=a_j/)。这个行列式形式独特，在数学的各个分支都有应用，经常出现于一些构造无关向量的场合中。

/[/begin{vmatrix}1&1&/cdots&1//a_1&a_2&/cdots&a_n//a_1^2&a_2^2&/cdots&a_n^2///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&/cdots&a_n^{n-1}/end{vmatrix}=/begin{vmatrix}1&1&/cdots&1//0&(a_2-a_1)&/cdots&(a_n-a_1)//0&a_2(a_2-a_1)&/cdots&a_n(a_n-a_1)///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//0&a_2^{n-2}(a_2-a_1)&/cdots&a_n^{n-2}(a_n-a_1)/end{vmatrix}// =/sum_{j=1}^n(a_j-a_1)/cdot/begin{vmatrix}1&/cdots&1//a_2&/cdots&a_n///vdots&/ddots&/vdots//a_2^{n-2}&/cdots&a_n^{n-2}/end{vmatrix}=/sum_{1/leqslant i<j/leqslant n}(a_j-a_i)/tag{11}/]

有时候像范德蒙行列式一样，按行（列）展开并不能直接得到结果，而是一个递推式，解递推式方程即可得到行列式的值。这样的行列式往往具有很规律的结构，在实际应用中经常会碰到，一些常见的行列式最好直接记住它的结论。

•计算行列式：/(/begin{vmatrix}2&-1&0&/cdots&0&0//-1&2&-1&/cdots&0&0//0&-1&2&/cdots&0&0///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots&/vdots//0&0&0&/cdots&2&-1//0&0&0&/cdots&-1&2/end{vmatrix}/)。

3.2 拉普拉斯定理

上面按一行（列）展开了行列式，其实这个结论可以很容易扩展到按/(k/)行（列）展开。之前我们以一行（列）的每个元素为分类依据，现在则是要以/(k/)行（列）中每个/(k/)阶子行列式为分类依据。记第/(i_1,i_2,/cdots,i_k/)行、第/(j_1,j_2,/cdots,j_k/)列的元素组成的行列式为/(A/begin{pmatrix}i_1/cdots i_k//j_1/cdots j_k/end{pmatrix}/)，剩下的/(n-k/)行、/(n-k/)列组成的行列式称为它的余子式，比如是/(A/begin{pmatrix}i'_1/cdots i'_{n-k}//j'_1/cdots j'_{n-k}/end{pmatrix}/)。

如果要按第/(i_1,i_2,/cdots,i_k/)行展开，则将行列式所有项按照/(A/begin{pmatrix}i_1/cdots i_k//j_1/cdots j_k/end{pmatrix}/)分类，其中/(j_1/cdots j_k/)取/(1/sim n/)中所有/(k/)个数的组合。类似上面的证明思路，可知每一类的符号是/((-1)^{i_1+/cdots+i_k+j_1+/cdots+j_k}/)，所以有如下按/(k/)行展开行列式的 拉普拉斯定理 （Laplace），按列展开类似。

/[|A|=/sum_{1/leqslant j_1</cdots<j_k/leqslant n}{(-1)^{i_1+/cdots+i_k+j_1+/cdots+j_k}A/begin{pmatrix}i_1/cdots i_k//j_1/cdots j_k/end{pmatrix}A/begin{pmatrix}i'_1/cdots i'_{n-k}//j'_1/cdots j'_{n-k}/end{pmatrix}}/tag{11}/]

拉普拉斯定理多用于有块状特征的行列式，设/(A,B,C,D/)分别是/(s/times s,t/times t,t/times s,s/times t/)的矩阵块，则容易有公式（12）的结论。

/[/begin{vmatrix}A&0//C&B/end{vmatrix}=/begin{vmatrix}A&D//0&B/end{vmatrix}=|A||B|/tag{12}/]

•计算行列式：/(/begin{bmatrix}A&B//B&A/end{bmatrix}/)，其中/(A=/begin{bmatrix}a&&//&/ddots&//&&a/end{bmatrix},/:B=/begin{bmatrix}&&b//&{/mathinner{/mkern2mu/raise1pt/hbox{.}/mkern2mu/raise4pt/hbox{.}/mkern2mu/raise7pt/hbox{.}/mkern1mu}}&//b&&/end{bmatrix}/)。

4. 行列式技巧举例

行列式根据定义总是可以计算出来的，但实际问题中的很多行列式具有特殊的格式，而且需要得到一般的表达式。除了上面的基本工具，有时需要很多的技巧，这要求有较高的数学综合素养。我们虽然不建议搞题海战术，但不得不承认技巧和思想在数学中都是不可缺少的，而这需要一些锻炼和总结。我们经常会碰到一些具有特定规律的行列式，需要根据这些规律找到适合它的方法和技巧。

有一种行列式，它的每行（列）非常相似，但又总有一点不同，这时需要想办法提取出相同的部分。一种做法是将相同的部分单独作为新的一行（列）加到矩阵中，然后进行消除，便会得到较简单的形式，我们可以把它叫做 加边法 。比如以下左式，可以给它添加一行/([1/:a_1/:a_2/:/cdots/:a_n]/)（第一列其它元素为零）。还有一种做法就是将每一行（列）中不同的部分剥离开来，分别计算两个简单的行列式。比如以下右式，可以将第一个/(x/)拆成/(y+(x-y)/)，接下来的递归式就容易了。

/[/begin{vmatrix}b_1&a_2&a_3&/cdots&a_n//a_1&b_2&a_3&/cdots&a_n//a_1&a_2&b_3&/cdots&a_n///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_1&a_2&a_3&/cdots&b_n/end{vmatrix},/quad/begin{vmatrix}x&y&/cdots&y&y//z&x&/cdots&y&y///vdots&/vdots&/ddots&/vdots&/vdots//z&z&/cdots&x&y//z&z&/cdots&z&x/end{vmatrix}/]

当行列式表现为一个多项式时，我们可以把注意力集中到确定多项式的系数上，这个方法叫 待定系数法 。比如以下左式，多项式的/(n+1/)个根是可以猜出来的，多项式也就可以得到。再比如以下右式，它可以看做是/(n+1/)阶范德蒙行列式的一个余子式。以/(x/)补完最后一列，范德蒙行列式为多项式，且刚才的余子式便是/(x^{n-1}/)项的系数（注意符号）。

/[/begin{vmatrix}x&a_1&a_2&/cdots&a_n//a_1&x&a_2&/cdots&a_n//a_1&a_2&x&/cdots&a_n///vdots&/vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_1&a_2&a_3&/cdots&x/end{vmatrix},/quad/begin{vmatrix}1&1&/cdots&1//a_1&a_2&/cdots&a_n//a_1^2&a_2^2&/cdots&a_n^2///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_1^n&a_2^n&/cdots&a_n^n/end{vmatrix}/Rightarrow/begin{vmatrix}1&1&/cdots&1&1//a_1&a_2&/cdots&a_n&x///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&/cdots&a_n^{n-1}&x^{n-1}//a_1^n&a_2^n&/cdots&a_n^n&x^n/end{vmatrix}/]

还有一种方法难度比较大，需要借助公式/(|AB|=|A||B|/)（见下篇）。有一些行列式可以先分解成两个简单行列式的积，比如以下左式（/(s_k=x_1^k+x_2^k+/cdots+x_n^k/)）是两个范德蒙行列式的积。还有一些行列式可以形成较好的乘法等式，而该等式有助于计算行列式，比如以下右式的 循环矩阵 ，考虑到/(n/)次本原单位根/(/omega/)幂次的循环性，你可以尝试将它乘上由/(1,/omega,/omega^2,/cdots,/omega^{n-1}/)组成的范德蒙行列式。

/[/begin{vmatrix}s_0&s_1&/cdots&s_n//s_1&s_2&/cdots&s_{n+1}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//s_n&s_{n+1}&/cdots&s_{2n}/end{vmatrix},/quad/begin{vmatrix}a_1&a_2&/cdots&a_n//a_n&a_1&/cdots&a_{n-1}///vdots&/vdots&/ddots&/vdots//a_2&a_3&/cdots&a_1/end{vmatrix}/]