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Maths in My Heart ：书评：《魔鬼数学---数学思维的力量》(二)

2、数的真相

我在``素数是不是随机数''这一节上流连了许久。反复阅读了好几次，作者到底认为素数是随机数，还是不是随机数呢？其实，这已经不是一个纯粹的数学问题了，这是一个哲学问题。

数论是最古老的数学分支之一，而素数是其中最让人着迷的一部分，它构成了数的骨骼。如果我们把数学看作一个宇宙(数学描述的的确是我们对宇宙的理解，它是抽象自现实世界的真理，现实世界可以看作是数学理论的一个模型)，那么，我们要回答的第一个问题便是，宇宙是无穷的吗？而欧几里得很早就告诉了我们：素数是有无穷多个的。你是否会觉得两个问题之间有所关联？或许这纯属我个人形而上的想法，但我的确是这么想的。

然而，有很多简单的数论问题我们都回答不了，比如哥德巴赫猜想，比如孪生素数猜想。而作者为我们展示了一个独特的视角。华人数学家张益唐因为在研究孪生素数猜想上获得了里程碑式的进展，近两年来一直是数学界所津津乐道的话题，关于他的故事，我也看到了不少，因此也看到了不少关于孪生素数猜想的知识，当然，只是非常表面的笼统的知识，如何一步步地证明这个猜想，我并不知道。猜想本身的问题很容易理解：是否存在无穷多对这样的数，它们都是素数，并且它们只相差2。张益唐证明了：存在无穷多对这样的数，它们都是素数，并且它们之间的差不超过7000 万。这个答案之所以具有里程碑式的意义，是因为，随着数越来越大，素数将会变得越来越稀薄，有著名的素数定理为证。于是，容易在直观上产生这样一种错觉：素数之间的距离也会越来越大。孪生素数猜想便是这种直观的一个反面例子的极端。张益唐成功地把这个猜想的正确性从宇宙的无穷远点处拉回了大气层，这就是他的胜利。

不过孪生素数猜想仍未被解决，它仍在大气层中，悬而未决。数学家对于未决的猜想，总是会有一个直觉上的预判的，就好像当年费马在书的边角上写下，我已经找到了这个定理(费马大定理，现应称费马---怀尔斯定理)的证明，但只是因为空白太小，无法书写完全。这属于数学家的信仰范畴了，或者说，数学家的哲学范畴。作者说，素数是随机的，也即，数是杂乱无序的。如果素数真的存在某种神奇的结构，那么我们岂非通过找到这种神奇的结构就能得到一切关于数的真相了吗？很抱歉，我们不这么想。如果把一个个素数看作我们对宇宙认知道路上的障碍，那么，素数的随机性，就可以理解成，我们永远无法预料到前方会发生何种神奇？但我们知道，这种神奇必然和我们之前所经历过的绝不可能一样。求知的路上，你永远能看到不一样的风景，永远不会boring。

作者说：如果有一天，我们真的能解开所有素数的秘密，那么帮助我们解开秘密的新的数学理念将赋予随机性这个字眼新的内涵。是的，这似乎有点自相矛盾，但却又令人陶醉，不是吗？

数学家坚信，孪生素数猜想是真的。这个猜想，以及为了这个猜想仍在默默奋斗，探寻数的真相的人们，让我想到多年前想成为一名伪文青时被深深打动的一句话：如果还有一种感动让我泪流满面，那是因为我们彼此并不孤独。谨以此向他们致敬。

3、美丽的几何

你能想象，数学能告诉你如何买彩票吗？

哦，不，数学会先告诉你不要去买彩票，如果彩票发行方没有犯错的话。当然，你如果想为政府财政做一点小小贡献，可以去买上那么一些，附带收获一些期待与希望的快乐。

不过，要是彩票发行方不小心露出了一个破绽，让彩民们有机可乘呢？如果你的数学知识够的话，你当然可以去捞上一笔。作者就告诉了我们一个关于麻省理工学院学生买彩票的故事。用一点概率论的知识，我们可以知道，当一张彩票的期望高于它的价格时，此时大量购进这种彩票，是能够享有正收益的，有时候收益还会不小。(作者在书中已经很浅显地说明了这个道理，这里我就不再啰嗦了。)

让我没有想到的是，我以为这个故事到这帮学生靠买彩票赚了不少钱之后便结束了。是的，我们知道，数学很有用，告诉我们什么时候可以买彩票赚钱了，这帮大学生利用数学赚了不少呢。

可是故事仍有后续。你知道如何选彩票号码吗？是用电脑随机抽取，还是人工选取呢？作者先告诉了我们，除了这支大学生博彩团队外，同时还有另一支博彩团队，他们是用电脑随机选号的，而这帮大学生一直都兢兢业业地用人工填写彩票，是他们拥有与众不同的勤劳特质吗？

作者最后并没有得到关于此中玄机的肯定回复，他甚至曾经询问过那支大学生博彩团队中的一名成员。但他用自己的思考为我们展示了人工选号可以为我们做到什么。我没有想到这竟然和几何沾上了边。射影几何学有两条公理：经过两点有且只有一条直线；两条直线有且只有一个交点。最小的射影平面叫作``法诺平面''(见书第231页)，包含7 个点。很难想象，这个几何图形能告诉我们如何选取彩票号码，可以在相同期望下，更稳健地获得收益。如果彩票号码由1到7这7个数字组成，我们只需要选取位于该平面中一条直线上的三点(对应3 个数字)的组合(共7个)作为彩票号码，便能保证获得相当稳定的收益。如果一等奖是猜对3个数，二等奖是猜对2个数，那么这样选，能保证买7张彩票必中3 个二等奖，若非如此，就能中一等奖。这难道不神奇吗？

之后，作者介绍了一些关于计算机编码的知识，再次提到了法诺平面，于是孤陋寡闻的我再一次被shock到了。一切皆几何。想起了一个关于狄利克雷函数的笑话。

青年问禅师：``我觉得我在这个世界上是多余的，没有人需要我。''

禅师说：``就像你所学的数学，无论怎样复杂艰深的函数，都有适合的图形对应。你只是还没找到那个图形而已。''

青年沉思一番，提笔写下了狄利克雷函数的解析式。

正文到此结束