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网格去噪算法（two-step framework）

基于两步法的网格去噪算法顾名思义包含两个步骤：首先对网格表面的法向进行滤波，得到调整后的网格法向信息，然后根据调整后的法向更新顶点坐标位置，下面介绍三篇该类型的文章。

[Sun et al. 2007]文章首先介绍了当前法向滤波方法以及顶点坐标更新方法，然后提出自己的法向滤波方法和顶点坐标更新方法。

法向滤波方法：

1.均值滤波（mean filter）：n _i ^’ = normalize(Σ _j _∈ _N(i) A _j ·n _j / Σ _j _∈ _N(i) A _j )，均值滤波会破坏网格的细节特征。

2.中值滤波（median filter）：n _i ^’ = arg median _nj {w _j ⊙∠(n _i , n _j ) : j∈N(i)}，中值滤波能够保持网格的细节特征，但当网格噪声较大时，效果并不好。

3.α-截尾滤波（alpha-trimming filter）：n _i ^’ = normalize(Σ _j _∈ _N(i) I _α (j) ·A _j ·n _j )，∠(n _i , n _j )角度值前α比例和后α比例对应的I _α (j)为0，当α = 0时等同于均值滤波，当α = 0.5时等同于中值滤波。

4.模糊矢量中值滤波（fuzzy vector median filter）：先使用矢量中值滤波n _m = arg min _nj {Σ _k _∈ _N(i) d(n _j , n _k ) : j∈N(i)}，其中d(n _j , n _k )为n _j 和n _k 的L _p 范数或∠(n _j , n _k )角度值，然后再使用高斯滤波n _i ^’ = normalize(Σ _j _∈ _N(i) n _j ·exp(-d(n _j , n _m ) ² /2σ ² ))。模糊矢量中值滤波可以得到误差较小的法向，但会增加计算量。

5.[Sun et al. 2007]文章法向滤波方法：n _i ^’ = normalize(Σ _j _∈ _N(i) h _j ·n _j )，权重定义为网格去噪算法（two-step framework），其中N(i)为三角片f _i 的邻域三角片集，有两种选择，见下图，f(x) = x ² ，0 ≤ T ≤ 1，T的取值决定了邻域三角片N(i)中有多少三角片法向会参与计算，当T = 1时，只有与n _i 相等的邻域三角片法向会参与计算，而当T = 0时，所有邻域三角片法向都会参与计算。当网格有明显棱边时，T可以取相对较小值，而当网格比较光滑时，T可以取相对较大值。

网格去噪算法（two-step framework）

Ⅰ基于顶点（vertex based）的三角片邻域；Ⅱ表示基于边（edge based）的三角片邻域

顶点坐标更新方法：

1.求解线性方程组：

网格去噪算法（two-step framework）

2.梯度下降法：

网格去噪算法（two-step framework）

其中N _v (i)为顶点i的1环邻域顶点集。

3. [Sun et al. 2007]文章顶点更新方法：

网格去噪算法（two-step framework）

其中F _v (i)为顶点i的1环邻域三角片集。

效果：

网格去噪算法（two-step framework）

[Zheng et al. 2011]文章提出了两种三角片法向更新方法，而其顶点坐标更新方法采用和[Sun et al. 2007]文章一样的方法。

1.Local and Iterative Scheme：

该方法采用对法向进行双边滤波：n _i ^t+1 = K _i ·Σ _j _∈ _N(i) w _ij ·n _j ^t ，其中N(i)为三角片f _i 的邻域三角片集，K _i 为归一化系数，w _ij = ξ _ij ·W _c ·W _s ，ξ _ij 为三角片f _j 的面积S _i ，空间域核W _c (||c _i – c _j ||) = exp(-||c _i – c _j || ² /2σ _c ² )，值域核W _s (||n _i – n _j ||) = exp(-||n _i – n _j || ² /2σ _s ² )。

2. Global and Non-Iterative Scheme：

该方法通过求解线性方程组来最小化目标函数，相对于上面的显式更新顶点坐标方法，该方法是一种对应的隐式更新顶点坐标方法，目标函数如下：

网格去噪算法（two-step framework）

其中A _i = S _i /mean({S})，上式等同于求解线性方程组，但是方程不满秩，需要加入软约束条件：E _d = Σ _i A _i ·||n _i ^’ – n _i || ² 。最后优化目标为：argmin(1 - λ) ·E _s + λ·E _d ，其中λ∈[0, 1]，用于控制网格的光滑程度。

效果：

网格去噪算法（two-step framework）

[Zhang et al. 2015]文章提出了一种三角片法向更新方法，该方法与[Zheng et al. 2011]文章的方法一相似，不同的是[Zheng et al. 2011]文章采用原始法向作为双边滤波中的值域信息，而[Zhang et al. 2015]文章对原始法向进行引导滤波（guided filter）得到新的法向作为值域信息。而其顶点坐标更新方法同样采用和[Sun et al. 2007]文章一样的方法。

网格去噪算法（two-step framework）

其中N _i 为三角片f _i 的邻域三角片集，W _i 为归一化系数，A _j 为三角片f _j 的面积，空间域核K _s 和值域核K _r 都为高斯核函数。

关键如何计算三角片f _i 的引导法向（guidance）g _i ，文章提出对于三角片f _i ，在其周围寻找一个包含三角片f _i 的区域，使该区域内的三角片法向变化最小，然后将这个区域里的所有三角片法向进行加权平均作为三角片f _i 的引导法向。具体来说，定义P _k 为与三角片f _i 拥有共同顶点的三角片集{f _k }，那么三角片f _i 的候选区域（candidate patch）为C(f _i ) = {P _k ∣f _i ∈P _k }。对于每个区域P∈C(f _i )，计算区域P内三角片法向的一致性（consistency）：H(P) = Ф(P)·R(P)，其中Ф(P)为区域P内三角片法向的最大偏差：Ф(P) = max _fj,fk _∈ _P ||n _j – n _k ||，R(P)为区域P内相邻三角片法向的相对变化程度：网格去噪算法（two-step framework），式中φ(e _j ) = ||n _j1 – n _j2 ||。然后选取其中一致性函数H(P)最小的区域P ^* ，并对其中的三角片法向作面积加权平均，即得到三角片f _i 的引导法向g _i ：g _i = normalize(Σ _f _j _∈ _P* A _j ·n _j )。

效果：

网格去噪算法（two-step framework）

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参考文献：

[1] Xianfang Sun; Rosin, P.L.; Martin, R.R.; Langbein, F.C., "Fast and Effective Feature-Preserving Mesh Denoising," Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions, vol.13, no.5, pp.925-938, Sept.-Oct. 2007.

[2] Youyi Zheng; Hongbo Fu; Au, O.K.-C.; Chiew-Lan Tai, "Bilateral Normal Filtering for Mesh Denoising," Visualization and Computer Graphics, IEEE Transactions, vol.17, no.10, pp.1521-1530, Oct. 2011.

[3] Wangyu Zhang, Bailin Deng, Juyong Zhang, Sofien Bouaziz, Ligang Liu, "Guided Mesh Normal Filtering," Computer Graphics Forum (Proc. Pacific Graphics), 34(7): 23–34, 2015.

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