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基础野：细说原码、反码和补码

Brief

说来惭愧虽然刚接触计算机时已经学过原码、反码和补码的内容，但最近重温时却发现“这是什么鬼东西”，看来当初只是应付了考试了而已。本篇将试图把他们说个明白，以防日后自己又忘记了。

在深入之前，我们先明确以下几点：

1. 本篇内容全部针对有符号数整数；

2. 对于有符号数整数，其在计算机中的存储结构是符号位 + 真值域。其中符号位为0表示正数，1表示负数；

3. Q：既然已经有原码，那么为什么还要出现反码、补码等数值的编码方式呢？

A：由于为了降低当时计算机物理电路的设计难度，决定采用加法代替减法运算（因此计算机内部是没有减法运算的），即10-5被替换为10+(-5)，而反码、补码就用于解决10+(-5)的问题的。

True Form

原码，就是直接将十进制数转换为二进制数形式。如7的原码为0111，-6的原码为1110。

注意：

1. 原码是区分+0和-0的，+0的原码为0000;-0的原码为1000；

2. 若存储空间为n bit，则原码的取值范围是 -2 ⁿ -1 ~ 2 ⁿ -1。

原码在以加法代替减法的运算中引起的问题：

例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001 + 1001 = 1010 = -2，发现通过原码来运算时居然会得到0 == -2的结果。于是引入了反码。

One's Complement

原码转换成反码的规则如下：

1. 正整数原码的反码是其自身。如原码0001的反码是0001；

2. 负整数原码的反码则是对原码真值域的个位数取反即可。如原码1010的反码是1101。

那么将反码转换为原码的规则如下：

1. 正整数反码的反码是其自身。如反码0001的原码是0001；

2. 负整数反码的原码则是对反码真值域的个位数取反即可。如反码1101的原码是1010。

注意：

1. 反码是区分+0和-0的，+0的反码为0111;-0的反码为1111；

2. 若存储空间为n bit，则反码的取值范围是 -2 ⁿ -1 ~ 2 ⁿ -1。

反码在以加法代替减法的运算中引起的问题：

例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001 _【原码】 + 1001 _【原码】 = 0001 _【反码】 + 1110 _【反码】 = 1111 _【反码】 = 1000 _【原码】 = -0，发现通过反码来运算时居然会得到0 == -0的结果。

看到采用反码运算的结果已经非常接近正确结果，但-0对于我们来说还是没有太多的意义。于是引入了补码。

Two's Complement

原码转换成补码的规则如下：

1. 正整数原码的补码是其自身。如原码0001的补码是0001；

2. 负整数原码的补码则是对原码真值域的个位数取反后，整体+1即可。如原码1010的补码是1111。

那么将补码转换为原码的规则如下：

1. 对补码再求一次补码则得到原码。

注意：

1. 补码是不区分+0和-0的，+0和-0的补码为0000;

2. 若存储空间为n bit，则反码的取值范围是 -2 ⁿ ~ 2 ⁿ -1。

3. 原码 + 其补码 = 0。

补码在以加法代替减法的运算的结果：

例如在计算0 = 1-1 = 1+(-1) = 0001 _【原码】 + 1001 _【原码】 = 0001 _【反码】 + 1110 _【反码】 = 0001 _【补码】 + 1111 _【补码】 = 0000 _【补码】 = 0000 _【原码】 =0，发现通过补码来运算时结果恰恰正确。

真相：有符号整数其实是以补码的编码方式存储的。因此C语言的int类型在32位OS上的值范围是：-2 ⁿ ~ 2 ⁿ -1。我们可以通过以下的C代码片段要验证：

 #include <stdout.h> #include <string.h>  int main(){   int f = -1;   unsigned long l;   int i;   char s[32];    memcpy(&l, &f, 4);    for (i = 31; i >=0; --i){        if (l % 2 == 1){          s[i] = '1';        }        else{          s[i] = '0';        }        l /= 2;   }   s[32] = '/0';   printf("%s/n", s);   return 0; }

标准输出为：11111111111111111111111111111111（若为原码则应该是10000000000000000000000000001）

到这里我们对原码、反码和补码有一定程度的了解，并通过死记硬背的传统学习方法答对考题应该就不成问题了。但若要自圆其说则不可避免地需要解答以下问题：

1. 为什么补码的方式能解决以加法替代减法时所产生的问题？

下面我们一起来探讨和推导一下吧。

Theory

Modulus

模，是指一个计量系统的计数范围，而模则是产生“溢出”的量。

以时钟为例，时钟的计数范围是0~11，而模（产生“溢出”的量）是12。现在我们将时针从4点逆时针移动2格，和顺时针移动10格，得到的结果均是一样的。以算术公式表示则是4-2和4+10，一眼看出4-2明显不等于4+10，那为什么时钟上两者结果却是相同的呢？

那是“模”在作怪。当运算结果超出计数范围时，则会执行求模运算，4+10=14>12，12求模后得到2=4+(-2)。这时你会发现负数的补数必定是正数，那么就解决了需要以正数表示负数的需求。接下来就要验证以补数解决以正数表示负数后，参与加法运算是否有问题了。

在深入之前，请大家先了解一下理论：

补数/补码/二补码，若A、B除以M为模执行求模运算后的结果相等，则A与B互为补数，公式：a≡b(mod m)。

求模公式：mod = a - m * La/mJ，其中LJ代表“取下界”符号。（注意：%是取余而不是取模数的运算符，而求模和取余在本质上是不同的）

以下以JS来描述

 /**  * @description 求模  * @method mod  * @public  * @param {Number} o - 操作数  * @param {Number} m - 模，取值范围：除零外的数字(整数、小数、正数和负数)  * @returns {Number} - 取模结果的符号与模的符号保持一致  */ var mod = (o/*perand*/, m/*odulus*/) => {     if (0 == m) throw TypeError('argument modulus must not be zero!')     return o - m * Math.floor(o/m) }  /**  * @description 求余  * @method rem  * @public  * @param {Number} dividend - 除数  * @param {Number} divisor - 被除数，取值范围：除零外的数字(整数、小数、正数和负数)  * @returns {Number} remainder - 余数，符号与除数的符号保持一致  */ var rem = (dividend, divisor) => {     if (0 == divisor) throw TypeError('argument divisor must not be zero!')     return dividend - divisor * Math.trunc(dividend/divisor)     }