机器学习公开课笔记(9)：异常检测和推荐系统

异常检测(Anomaly Detection)

基本假设：多数情况下数据点落入正常的取值范围，但是当异常行为发生时，数据点的取值落入正常取值范围之外（如图1所示）。所以可以利用高斯分布，计算行为发生的概率，如果是概率小于给定阈值，则认为发生了异常行为。基本过程是利用训练数据点建立模型$p(x)$，对于新的数据点$x_{new}$, 如果$p(x_{new})</epsilon$则发生异常；否则正常。异常检测的应用包括：

• 欺诈检测(Fraud detection)
• 制造业(Manufacturing)
• 数据中心监视电脑(Monitering computers in data center)

图1 异常行为（Outlier Point）发生示例

高斯分布

对于一元高斯分布$x /sim N(/mu, /sigma^2)$，表达式如下，其中$/mu$表示均值，对应于分布的对称轴；$/sigma$表示数据点的离散程度，$/sigma$越大函数图像的下端张口越大峰值越低；反之$/sigma$越小，图像下端张口越小，峰值越高，如图2所示。

$$p(x;/mu, /sigma^2)=/frac{1}{/sqrt{2/pi}/sigma}exp(-/frac{(x-/mu)^2}{2/sigma^2})$$

图2 不同参数($/mu, /sigma$)取值下的一元高斯分布

参数估计

高斯分布的总体参数$/mu$和$/sigma$可以使用样本数据点进行估计，如下

异常检测算法

对于训练数据集$/{x^{(1)}, x^{(2)}, /ldots, x^{(m)}/}$，其中数据点$x^{(i)}/in R^n$并假设每个特征均服从高斯分布，即$x^{(i)}_j /sim N(/mu, /sigma^2)$，可如下建立模型$p(x)$

/begin{align*}p(x)&=p(x_1; /mu_1, /sigma_1^2)p(x_2; /mu_2, /sigma_2^2)/ldots p(x_n; /mu_n, /sigma_n^2) // &= /prod/limits_{j=1}^n p(x_j; /mu_j, /sigma_j^2)/end{align*}

算法步骤：

1. 特征选择：选择能够指示异常行为的特征

2. 参数估计：用训练数据集估计每个特征的整体均值$/mu_j$和方差$/sigma_j^2$，即$/mu_j = /frac{1}{m}/sum/limits_{i=1}^{m}x^{(i)}_j$, $/sigma^2_j=/frac{1}{m}/sum/limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}_j-/mu_j)^2$

3. 用估计得到的参数$/mu_1, /mu_2, /ldots, /mu_n$,  $/sigma^2_1, /sigma^2_2, /ldots, /sigma^2_n$建立模型$p(x)$；

4. 对于给定新的数据点$x_{new}$, 计算$p(x_{new})$；如果$p(x_{new})</epsilon$则发生异常，否则正常。

算法评估:

给定训练数据集(去掉标签建立模型)中$/{x^{(1)}, x^{(2)}, /ldots, x^{(m)}/}$，训练模型$p(x)$。在交叉验证集(带标签)中，如果$p(x_{cv})</epsilon$，则预测$y=1$；否则预测$y=0$。最后计算指标Precison/Recall/F1Score等来评估算法性能。注意：也可以用验证集来选择阈值$/epsilon$.

异常检测与监督式学习对比：

特征选择：

选择的特征需要近似服从于高斯分布，如果明显不服从高斯分布，可以做适当的转换，例如$log(x), log(x+c), /sqrt{x}, x^{1/3}$等

多元高斯分布

之前的模型假设各个特征之间是相互独立的，因此模型$p(x)$将个特征取值的概率相乘【$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$，当且仅当事件AB相互独立时才有$P(AB)=P(A)P(B)$】；然而当各个特征之间存在依赖关系时，一元的高斯模型将不能很好的刻画$p(x)$，需要多元高斯模型。模型$p(x)$的建立不再是各个概率相乘，而直接用多元高斯分布进行刻画$$p(x;/mu, /Sigma)=/frac{1}{(2/pi)^{n/2}|/Sigma|^{1/2}}/exp/left(-/frac{1}{2}(x-/mu)^T/Sigma^{-1}(x-/mu)/right)$$ 其中$/mu$是$n$维行向量，$/mu=/frac{1}{m}/sum/limits_{i=1}^{m}x^{(i)}$； $/Sigma$是$n/times n$协方差矩阵，$/Sigma=/frac{1}{m}/sum/limits_{i=1}^{m}(x^{(i)}-/mu)(x^{(i)}-/mu)^T$，图3给出了在不同参数取值下的二维高斯模型及其对应的等高线图。

图3 二维高斯分布及其对应的等高线图

多元高斯模型和一元高斯模型的关系：当协方差矩阵$/Sigma$是对角阵且对角线元为一元高斯分布的估计参数$/sigma_j^2$时，两个模型是等价的。区别在于前者能够自动获取特征之间的依赖关系而后者不能(后者假设特征之间是独立的)。当特征数$n$很大时，前者计算代价高昂而后者计算速度快。前者适用于$m>n$(一般要求$m>10n$)的情况，而后者当$m$很小时依然适用。

推荐系统

电影推荐系统问题：根据用户对已看过电影的打分，对用户未看过的电影(下表中以?表示)进行打分估计，以给其推荐合适的电影。

符号说明：

• $n_u$表示用户数量
• $n_m$表示电影数量
• $r(i, j)$是符号变量，如果用户$j$已经对电影$i$进行评分则$r(i, j)=1$；反之，如果用户$j$尚未对电影$i$进行评分则$r(i, j)=0$.
• $y^{(i, j)}$表示用户$j$对电影$i$的评分（如果用户$j$对电影$i$已经评分，即$r(i, j)=1$）.

基于内容的推荐

对每一部电影$i$抽出若干特征，然后每个用户$j$学习一个参数向量$/theta^{(j)}$，然后用$(/theta^{(j)})^Tx^{(i)}$来估计用户$j$对电影$i$的评分。例如对于上面的表格，我们对每一个电影抽取出2个特征$x_1,x_2$(对应表格最后2列)，然后每个用户$j$学习一个参数向量$/theta^{(j)}/in R^3$（包含bias项$/theta_0=1$以及$x_1, x_2$的系数$/theta_1, /theta_2$）,然后就可以用$(/theta^{(j)})^Tx^{(i)}$来预测评分。为了学习参数$/theta$，定义代价函数为$$J(/theta^{(1)},/theta^{(2)},/ldots,/theta^{(n_u)})=/frac{1}{2}/sum/limits_{j=1}^{n_u}/sum/limits_{i:r(i,j)=1}((/theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+/frac{/lambda}{2}/sum/limits_{j=1}^{n_u}/sum/limits_{k=1}^n(/theta^{(j)}_k)^2$$

梯度下降法的参数更新：$$/theta_k^{(j)}=/theta_k^{(j)}-/alpha/left(/sum/limits_{i:r(i,j)=1}((/theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+/lambda/theta_k^{(j)}/right)/quad k > 0$$ $$/theta_k^{(j)}=/theta_k^{(j)}-/alpha/sum/limits_{i:r(i,j)=1}((/theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}/quad k = 0$$

协同过滤(Collaborative Filtering)

基于内容的推荐假设电影的特征(如$x_1$, $x_2$)是已知的，仅需要学习参数$/theta$；然而实际中电影的特征是未知的，现在假定已知用户的参数$/theta$，需要学习电影的特征$x$，与上面的代价函数类似，定义$$J(x^{(1)},x^{(2)},/ldots,x^{(n_m)})=/frac{1}{2}/sum/limits_{i=1}^{n_m}/sum/limits_{i:r(i,j)=1}((/theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+/frac{/lambda}{2}/sum/limits_{i=1}^{n_m}/sum/limits_{k=1}^n(x^{(i)}_k)^2$$这样我们发现，给定电影特征$x$可以学习到用户参数$/theta$；反之给定用户参数$/theta$可以学习到特征$x$。因此可以先随机猜一个$/theta$，然后学习$x$，再由学习到的$x$学习$/theta$，然后不断重复即可。然而事实上，两个参数$x, /theta$可以如下同时更新，从而得到协同过滤的推荐算法$$J(x^{(1)},x^{(2)},/ldots,x^{(n_m)},/theta^{(1)},/theta^{(2)},/ldots,/theta^{(n_u)})=/frac{1}{2}/sum/limits_{i:r(i,j)=1}((/theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})^2+/frac{/lambda}{2}/sum/limits_{j=1}^{n_u}/sum/limits_{k=1}^n(/theta^{(j)}_k)^2+/frac{/lambda}{2}/sum/limits_{i=1}^{n_m}/sum/limits_{k=1}^n(x^{(i)}_k)^2$$

协同过滤算法步骤:

1. 初始化参数$x^{(1)},x^{(2)},/ldots,x^{(n_m)},/theta^{(1)},/theta^{(2)},/ldots,/theta^{(n_u)}$为随机数，其中$x/in R^n$表示电影特征，$/theta /in R^n$表示用户参数（注：不包含bias参数$/theta_0$）

2. 使用梯度下降或者其他高级优化算法，进行参数更新

$$x_k^{(i)}=x_k^{(i)}-/alpha/left(/sum/limits_{i:r(i,j)=1}((/theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+/lambda x_k^{(i)}/right)$$$$/theta_k^{(j)}=/theta_k^{(j)}-/alpha/left(/sum/limits_{i:r(i,j)=1}((/theta^{(j)})^Tx^{(i)}-y^{(i,j)})x_k^{(i)}+/lambda/theta_k^{(j)}/right)$$

3. 用学习到的参数$/theta$和$x$预测电影评分$/theta^Tx$

低秩矩阵分解(Low rank matrix factorization)

协同过滤与低秩矩阵分解：协同过滤算法要求评分矩阵$Y$中元素$y^{(i,j)}$越接近$(/theta^{(j)})^T x^{(i)}$越好，因此参数$/theta$和$x$的求解，实际上等价于寻找两个矩阵$X$和$/Theta$使得$Y /approx X/Theta^T$，从而协同过滤问题可以转化为低秩矩阵分解问题。

均值归一化：对于尚未评分任何电影的用户，可以对$Y$矩阵按行求平均值作为该用户的初始评分；用均值化矩阵$Y-/mu$进行参数学习，然后用$(/theta^{(j)})^T/theta^{(i)}+/mu_i$进行评分预测。

参考文献

[1] Andrew Ng Coursera 公开课第九周

[2] Recommender Systems: Collaborative Filtering. http://recommender-systems.org/collaborative-filtering/

[3] Wikipedia: Low-rank approximation https://en.wikipedia.org/wiki/Low-rank_approximation