转载

汉诺塔问题

概述

汉诺塔是一个经典的递归问题，虽说看人家写好的算法程序就那么几行，但着实理解有一定的难度。查阅了一些资料，参阅别人的思路，对汉诺塔算法进行一番梳理。

问题来源

有一个梵塔，塔内有三个座A、B、C，A座上有若干个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上（如图）。

需要把这些个盘子从A座移到C座，中间可以借用B座，但每次只允许移动一个盘子，并且在移动过程中，3个座上的盘子始终保持大盘在下，小盘在上。

汉诺塔问题

实例

我们从简单的来看一下如何移动。

只有一个盘子

傻子也知道，直接移动到C座就OK了。

有两个盘子 [1 2]

把1移动到B
把2移动到C
把1移动到C

有三个盘子 [1 2 3]

把1移动到C
把2移动到B
把1移动到B
把3移动到C
把1移动到A
把2移动到C
把1移动到C

虽说好像感觉有一定规律，但好像说不出来个所以然。

规律

对于上面的例子，我们可以总结出两点：

最后一步肯定是把1移动到C
如果盘子数大于1（1就直接移了），肯定要把最大的盘子上面的全部盘子放到B上，然后将最大的放到C上

由上面的两点，我们来探究一下递归关系。

假设有n个盘子，分别标记为 [1 2 3... n] 大数表示大盘子，已经在A座上放好。

初始状态

A：有n个盘子 B：空 C：空

我们现在有一个方法： hanoi(int n, String a, String b, String c) ，作用就是将n个盘子从a座借助b座移动到c座。

我们先不考虑它是怎么移过去的。

下面我们使用这个方法，结合上面我们总结的规律进行移动盘子。

第一步，将 [1 2 3... n-1] 个盘子从A移动到B上，再将 n 盘子移动到C上

hanoi(n-1, A, C, B) // 将A上的n-1个盘子移动到B上 hanoi(1, A, B, C) // 将A上的一个盘子移动到C

现在我们的盘子情况为

A：空 B：有n-1个盘子 C：最大的n盘子

由于最大的n盘子上可以放任何盘子，你可以完全忽略它的存在，不用管它，这时候的情形（忽略n盘子的存在）是不是跟初始状态类似呢（一个有盘子，其余的没有盘子）？是的，只不过顺序发生的变化并且盘子的数量减少了一个。

我们的总盘子数为：n-1

我们的B座就是初始状态的A座，A座就是初始状态的B座，C座还是C座。

第二步，将B座上的 [1 2 3... n-1-1] 从B移动到A上，将n-1盘子从B移动到C

hanoi(n-2, B, C, A) // 将B上的n-1-1个盘子移动到A上 hanoi(1, B, A, C) // 将B上的一个盘子移动到C

现在我们的盘子情况为

A：有n-1-1个盘子 B：空 C：最大的n盘子和倒数第二个n-1盘子

C上的盘子已经摆好，可以认为是空座，是不是又回到了初始状态的情形呢？是的，盘子数减一。

第三步，将A座上的 [1 2 3... n-2-1] 从A移动到B上，将n-2盘子从A移动到C

hanoi(n-3, A, C, B) // 将A上的n-2-1个盘子移动到A上 hanoi(1, A, B, C) // 将A上的一个盘子移动到C

又回到类似第一步执行后的情形了，如此反复，直到所有盘子都成功移动到C上为止。

经过上述的推敲，我们知道，每经过一步，盘子数少一个，并且A和B两座的位置互换（这里指他们轮流充当初始状态A的角色）。

代码实现(Java)

public static void hanoi(int n, String a, String b, String c) {     if (n == 1) {         System.out.println("将" + a + "最上面的盘子移动到" + c);         return;     }     // 当前盘子在a上，将当前盘子数-1放到b上     hanoi(n-1, a, c, b);     // 剩下一个放到c上     hanoi(1, a, b, c);     // 当前盘子在b上，b是下一轮的a， a b 换位置，进行下一轮     hanoi(n-1, b, a, c); }

调用：

hanoi(1, "A", "B", "C"); // 将A最上面的盘子移动到C  hanoi(2, "A", "B", "C"); // 将A最上面的盘子移动到B // 将A最上面的盘子移动到C // 将B最上面的盘子移动到C  hanoi(3, "A", "B", "C"); // 将A最上面的盘子移动到C // 将A最上面的盘子移动到B // 将C最上面的盘子移动到B // 将A最上面的盘子移动到C // 将B最上面的盘子移动到A // 将B最上面的盘子移动到C // 将A最上面的盘子移动到C

解释一下 a b c 和 A B C 的关系

A B C 是实际的盘子座， a b c 表示的是一种状态，即初始状态 a 表示有待移动的若干个盘子的座， b c 始终表示空座（ c 上可能有盘子，但已经摆好，可以认为为空）。

每移动一轮，A座与B座交换存盘子，若A有盘子，A就是参数 a ，若B有盘子，B就是参数 a ，C位置不动。

总之 a 始终代表堆着盘子的座。

原文 http://segmentfault.com/a/1190000004399928

正文到此结束