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利用归并排序法计算一个序列里有多少逆序对数（详细讲解）

前言

今天遇到求逆序对的问题，经过一番思索之后，特意来总结一下。因为也学习到了很多方法，以前自己一些百思不得其解的问题也有了解答。

正文

先上一个简单的问题：

分析：题目中说使用插入排序，也就是在排序过程中计算交换的次数，按照插入排序的原理，先定第一个，再定前两个的顺序，以此类推，只要交换了，我的次数就加一，但实际上，我们一直按照原始序列的顺序一直在往后走，所以（好，重点来了）我们要插入的就是前面比我大的数字前面的位置，也就是说，我需要交换的次数就是前面比我大的数字的个数，那么我考虑那就没必要进行交换了，直接进行和前面的数字进行比较就可以了啊，只要前面有比你现在所比较的数大，则加一。其实这很像我们线代学过的逆序数，就是求逆序数的个数。

接下来就是写代码：

  1 #include<stdio.h>  2 int main() {  3     int n,m;  4   5     scanf("%d/n",&n);  6   7     int count = 0;  8     for(int i=0; i < n; i++) {  9         scanf("%d/n",&m); 10         int ch[m]; 11         for(int j=0; j < m; j++) { 12             scanf("%d",&ch[j]); 13         } 14  15         for(int k=1; k < m; k++) { 16             for(int l=0; l < k; l++) { 17                 if(ch[k] < ch[l]) count++; 18             } 19         } 20     } 21     printf("%d/n",count); 22  23     return 0; 24 }

这里的代码就是普普通通的代码，通俗易懂。当然，两个循环那里可以进行算法的优化，有心的读者自己去尝试吧。或者说看接下来的内容也可以收获另一种求逆序数的方法。

好，接下来，我们讲述重点的问题，相信很多人都可以解决前面的问题，但接下来的问题就不是那么容易了，需要思考与一些代码技巧。

利用归并排序法计算一个序列里有多少逆序对数（详细讲解）

注意：Hint : 直接使用兩層迴圈來找答案的話會超過系統時間限制。

所以就必须寻求算法复杂度低的算法，按照提示，说在归并的过程当中计算逆序数对，首先要熟悉归并排序的原理，再结合问题来看。于是我在纸上进行了演算，先不断地进行二分，然后就两个两个相比较，就是分为两组，每组一个数，如果后面这个比前面的大，那就是一个逆序数对，然后就加一，并且将小的数字放在前面，于是合并，就得到了包含两个数的有序的一组数。接下来就是比较每组两个数的比较，如果第二组的第一个数大于第一组的第一个数，就加二，因为它比前面这组所有数都小。然后归并。以此类推。原则就是：如果后面这组数的某个数比前面这组的第i个数小，则逆序对数加上（mid-i+1）。

虽然明白了原理，对于归并不熟悉的同学，我觉得还是比较难的，特别是其中的一些技巧。

不多说。先分析代码如何写，先写框架：

  1 #include<stdio.h>  2   3 int count = 0;//逆序数对  4 void mergeSort(int lo,int hi) {  5       6 }  7   8 int main() {  9     int N; 10     scanf("%d",&N); 11  12     for(int i=0; i < N; i++) { 13         scanf("%d",&ch[i]); 14     } 15  16     mergeSort(0,N-1);//归并排序 17  18     printf("%d/n",count); 19     return 0; 20 }

这部分框架应该都能看懂。接下来讲述归并。首先原理就是先二分，分别排序，后归并。

  1 void mergeSort(int lo,int hi) {  2     if(lo < hi) {  3   4         int mid =( lo + hi ) / 2;//另一种写法：int mid = ( lo + hi ）>> 1;(学过计算机组成的应该知道，最终代码都会转换成二进制，二进制数字向右移一位代表除以2）  5        //二分排序  6         mergeSort(lo,mid);  7         mergeSort(mid + 1,hi);  8        //归并  9         Merge(lo,mid,hi); 10     } 11 }

其实这差不多也是个框架，只不过注意一下 lo < hi 这个条件。

然后重点在于归并这部分，设置标记点，i = lo 和 j = mid+1 循环的条件应该是

 1 int i = lo; 2 int j = mid + 1; 3 while(i <= mid&&j <= hi) { 4  5 }

如果后面前面这组数的第i个数大于后面某个数，count就加mid-i+1。当然归并时需要一个临时数组来存储这些改变位置的数，

  1 int i = lo;  2 int j = mid + 1;  3 int x = lo;  4   5 while(i <= mid&&j <= hi) {  6     if ( ch[i] > ch[j]) {  7         count +=  mid - i + 1;  8         temp[x++] = ch[j++];  9     } 10      else { 11         temp[x++] = ch[i++]; 12     } 13 }

当然，这还有个要注意的地方，如果前面这组数已经排完了，然后后面这组数还没完就已经退出了循环，那这个临时数组就没有归并所有的数进来，就不完整。此时就应该加上

 1 while(i <= mid) temp[x++] = ch[i++]; 2 while(j <= hi)  temp[x++] = ch[j++];

然后当然我们还要把这个临时数组的值又返回到原来的数组中，以便于这个数组在下一轮进行归并。

 1 for(int k = lo; k <= hi ; k++) 2         ch[k]  = temp[k];

好，这样，我们就完成整个代码的编写

这是完整的源代码：

  1 #include<stdio.h>  2   3 void Merge(int ,int ,int );  4 void mergeSort(int ,int );  5   6 int ch[20000],temp[20000];//最大有20000个数，注意这里要是全局变量，易于使用。  7 int count = 0;//逆序数，一定要是全局变量，这样就可以无论怎么递归都会一直加。原先的想法就是递归中返回逆序对的数，不断累加，实现起来比这个困难。这个直接就是全局变量，方便简洁。  8   9 void mergeSort(int lo,int hi) {//递归函数里不断二分排序，归并。 10     if(lo < hi) { 11  12         int mid =( lo + hi ) / 2; 13  14         mergeSort(lo,mid); 15         mergeSort(mid + 1,hi); 16  17         Merge(lo,mid,hi); 18     } 19 } 20  21 void Merge(int lo,int mid,int hi) {//进行归并 22     int i = lo; 23     int j = mid + 1; 24     int x = lo; 25  26     while(i <= mid&&j <= hi) { 27         if ( ch[i] > ch[j]) { 28             count+=  mid - i + 1; 29             temp[x++] = ch[j++]; 30         } else { 31             temp[x++] = ch[i++]; 32         } 33     } 34  35     while(i <= mid) temp[x++] = ch[i++]; 36     while(j <= hi)    temp[x++] = ch[j++]; 37  38     for(int k = lo; k <= hi ; k++) 39         ch[k]  = temp[k]; 40  41 } 42 int main() { 43     int N; 44     scanf("%d",&N); 45  46     for(int i=0; i < N; i++) { 47         scanf("%d",&ch[i]); 48     } 49  50     mergeSort(0,N-1); 51  52     printf("%d/n",count); 53     return 0; 54 }

总结

这里带给我最大的收获就是count是全局变量，因此才可以在不断的递归中一直累加，我原先的想法就是在递归中看能不能返回逆序对的个数，或者在参数中间加入逆序对的个数一直传递。这次终于得到了解答，还有这个归并时他创建的临时数组也很巧妙，最终又赋值给原数组。最棒的就是递归这部分，以前老是理不清，想不清，看来以后得多用用递归。

2016-02-25 12:37:30

原文 http://www.cnblogs.com/ABC-00/p/5216608.html

正文到此结束