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【函数式】Monads模式初探——Functor

函子与范畴

函子（functor）是 从一个范畴到另一个范畴的转换 ，并且其亦可转换/保持态射（morphism）。

一个态射是从一个范畴里的一个值到同一个范畴里的另一个值的变换。在猫的范畴的例子里，一个态射好比一个盒子，能够把黯淡无光的猫转化为一个霓虹闪耀的猫。在类型的范畴里（计算机科学常用的范畴），一个态射是一个把某类型转化为另一个类型的函数。

函子是可以把猫转化为狗的东西（不同范畴的转换）。函子可以把暗淡的猫转换成暗淡的狗，光彩的猫转换成光彩的狗。函子还可以连态射都转换过去，这样可以把暗淡的狗转化为光彩的狗。

【函数式】Monads模式初探——Functor 图中，下面的圈子表示所有的类型组成的范畴。里面包括标准的String、Double和其他Scala能定义的类型。函子F是Scala里的一个类型构造器。对于一个范畴中的任意类型T，可以把该类型置于类型构造器 F[_] 中，从而得到一个新类型 F[T] 。

对函子的描述

函子本质上是范畴之间的转换。

上图表示范畴C到范畴D的函子。图中，对象A和B被转换到了范畴D中同一个对象，因此，态射g就被转换成了一个源对象和目标对象相同的态射（不一定是单位态射），而且id_A和id_B变成了相同的态射。对象之间的转换是用浅黄色的虚线箭头表示，态射之间的转换是用蓝紫色的箭头表示。

范畴之间的转换必须在转换时保留所有的态射才能称为函子转换。也就是说，如果在第一个范畴有个操作类型的函数，那么我们也应该有个转换后的函数能够操作转换后的类型。比如说，如果我们有个吧String转换为Int的函数，那么我们也应该能够把F[String]转换成F[Int]，这正是map方法所提供的功能。

trait Functor[F[_]] { defapply[A](x: A):F[A] defmap[A,B](x: F[A])(f: A => B):F[B] }

apply方法的作用——对于任意类型A，一个函子能够在新范畴里构造一个类型F[A]。map方法的作用——给定一个转换后的类型F[A]和一个在原范畴里的态射A => B，能够创建一个F[B]类型的结果。也就是说，我们有个新函数能够接受F[A]，返回F[B]。

简单的说，函子是实现了map方法的数据类型。举例来说，

trait Functor[F[_]] { deffmap[A,B](x: F[A])(f: A => B):F[B] }  object ListFunctor extends Functor[List] { deffmap[A,B](list: List[A])(f: A => B):List[B] = list map f }  val l1 = List(1,2,3) val result = ListFunctor.fmap(l1)(i => i+1) println(result) // printis // List(2,3,4)