算法的相关理论概述

从字面意义上理解，算法（Algorithm）就是用于计算的方法，并通过这种方法可以达到预期的计算结果。算法的专业解释：算法是解决实际问题的一种精确描述的方法，算法是对特定问题的求解步骤的一种精确描述方法。但更广泛认可的算法专业定义：算法是模型分析的一组可行的、精确的和有穷的规则。

通俗的讲，算法可以理解为一个完整的解题步骤，由一些基本运算和规定的运算顺序而构成。通过这样的解题步骤可以解决特定的问题。从计算机程序设计的角度看，算法由一系列求解问题的指令构成，能够根据规范的输入，在有限的时间内获得有效的输出结果。算法代表了用系统的方法来描述解决问题的一种策略机制。

典型的算法可以从其中抽象出5个特征：有穷性、确切性、输入、输出和可行性。

 有穷性：

算法的指令或者步骤的执行次数是有限的，执行时间也是有限的。

 确切性：

算法的每一个指令或者步骤都必须有明确的定义和描述。

 输入：

一个算法应该有相应的输入条件，用来刻画运算对象的初始情况。

输出：

一个算法应该有明确的结果输出。这是容易理解的，没有得到结果的算法是毫无意义的。

 可行性：

算法的执行步骤必须是可行的且可以在有限的时间内完成。

算法是一门古老且庞大的学科，随着历史的发展，演化出多种多样的算法。按照不同的应用和特性，可以分为不同的类别。

1.按照应用来分类

按照算法的应用领域，也就是解决的问题，算法可以分为基本算法、数据结构相关的算法、几何算法、图论算法、规划算法、数值分析算法、加秘/解密算法、排序算法、查找算法、并行算法和数论算法等。

2.按照确定性来分类

按照算法结果的确定性来分类，可以分为确定性算法和非确定性算法。

•确定性算法：这类算法在有限的时间内完成计算，得到的结果是唯一的，且经常取决于输入值。

•非确定性算法：这类算法在有限的时间内完成计算，但是得到的结果往往不是唯一的，也就是存在多值性。

3.按照算法的思路来分类

按照算法的思路来分类，算法可以分为递推算法、递归算法、穷举算法、贪婪算法、分治算法、动态规划算法和迭代算法等多种。

算法其实是一种很抽象的概念，往往需要依托于具体的实现方法才能体现其价值，例如在计算机编程中的算法、数值计算中的算法等。本文所重点讲解的便是算法在计算机中的应用。正是由于算法的抽象性，导致读者很容易产生混淆，这里有必要说明一些基本概念。

算法与公式的关系

从当前所谈到的算法，让我们很容易联想到数学中的公式。公式也是解决某类问题，有特定的输入和结果输出，能在有限时间内完成，并且公式都是完成可以操作计算的。其实公式确实是提供了一种算法，但算法不完全等于公式。

公式是一种高度精确的计算方法，可以认为就是一种算法，其是人类智慧的结晶。而算法并不一定是公式，算法的形式可以比公式更复杂，解决的问题更加广泛。

算法与程序的关系

正如前面所述，算法是依托于具体的实现方式的。虽然我们一提到算法，就联想到计算机程序设计，但算法并非如此。例如，在传统的笔算中，通过纸和笔按照一定的步骤完成的计算也是算法的应用。在速记中，人们通过特殊的方式来达到快速牢固记忆的目的，这也是一种算法的应用。

在计算机程序设计中，算法的体现更加广泛，几乎每个程序都需要用到算法，只不过有些算法比较简单，有些算法比较复杂。

算法和程序设计语言是不同的。目前较为主流的程序设计语言，包括VB、C、C++、Java、C#等。程序设计语言是算法实现的一种形式，也就是一种工具。我们往往需要首先熟悉程序语言的语法格式，然后才能使用这种程序语言编写合适的算法实现程序。学习一门程序设计语言是比较容易的，难的是如何正确合理地运用算法来编写求解问题。

算法和数据结构的关系

数据结构是数据的组成形式，可以用来表征特征的对象数据。在计算机程序设计中，操作的对象是各种各样的数据，这些数据往往拥有不同的数据结构，例如数组、结构体、联合、指针和链表等。因为不同的数据结构所采用的处理方式不同，计算的复杂程度也不同，因此算法往往是依赖于某种数据结构的。换言之，数据结构是算法实现的基础。

计算机科学家尼克劳斯•沃斯（Nikiklaus Wirth）曾提出了一个著名的公式：数据结构+算法=程序。后来出版了《数据结构+算法=程序》，这一著作。我们从中可以看出算法和数据结构的关系。

通过前面的介绍，我们现在对程序、算法、数据结构设计有了比较深刻的认识。如果给出一个公式的话，可以表述成如下形式：

算法其实就是解决问题的一种方法，一个问题的解决往往可以采用多种方法，但每种方法所有的时间和得到的效果往往是不一样的。好的算法执行效率高，所耗费的时间短；差的算法则往往需要耗费更多的时间，导致效率很低。

算法的一个重要任务便是找到合适的、效率最高的解决问题的方法，也就是做好的算法。从理论上，这需要对算法的性能能有一个合理的评价。一个算法优劣往往通过算法复杂度来衡量，算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度两个方面。

时间复杂度

时间复杂度也就是通常所说的算法执行所需要耗费的时间，时间越短，算法越好。一个算法执行的时间往往无法精确估算，通常需要在实际的计算机运行才能知道。但是，我们也可以对算法代码进行估算，而得到算法的时间复杂度。

首先，算法代码执行的时间往往和算法代码中语句执行的数量有关。由于每条语句执行都是需要时间的，语句执行的次数越多，整个程序所耗费的时间就越长。因此，简短、精悍的算法程序往往执行速度快。

另外，算法的时间复杂度还与问题的规模有关。这方面的专门的算法分析中有详细的分析，有兴趣的读者可以参阅算法分析的相关书籍。

空间复杂度

空间复杂度指的是算法程序在计算机中执行所需要消耗的存储空间。空间复杂度其实可以分为以下两个方面：

• 程序保存所需要的存储空间，也就是程序的大小。

• 程序在执行过程中所需要消耗的存储空间资源，例如程序在执行过程中的中间变量等。

一般来说，程序的大小越小，执行过程所消耗的资源越少，这个程序越好。在算法分析中，空间复杂度有更为详细的量度，有兴趣的读者可以阅读相关的书籍。