假期结束,看点题目。
设顺序表用数组A[]表示,表中元素存储在数组下标1~m+n的范围内,前m个元素递增有序,后n个元素递增有序,设计一个算法,使得整个顺序表有序。
(1)给出算法的基本设计思想。
(2)根据设计思想,采用C或C++语言描述算法,关键之处给出注释。
(3)说明你所设计算法的时间复杂度和空间复杂度。
(1)算法基本设计思想:
将数组A[]中的m+n个元素(假设元素为int型)看成两个顺序表,表L和表R。将数组当前状态看做起始状态,即此时表L由A[]中前m个元素构成,表R由A[]中后n个元素构成。要使A[]中m+n个元素整体有序只需将表R中的元素逐个插入表L中的合适位置即可。插入过程:取表
R中的第一个元素A[m+1]存入辅助变量temp中,让temp逐个与A[m],A[m-1],…,A[1]进行比较,当temp<A[j](1≤j≤m)时,将A[j]后移一位;否则将temp存入A[j+1]中。重复上述过程继续插入A[m+2],A[m+3],……,A[m+n],最终A[]中元素整体有序。
(2)算法描述
void Insert(int A[],int m,int n){ int i,j; int temp; //辅助变量,用来暂存待插入元素。 for(i=m+1;i<=m+n;i++) { //将A[m+1…m+n]插入到A[1…m]中。 temp=A[i]; for(j=i-1;j>=1&&temp<A[j];j--) A[j+1]=A[j]; //元素后移,以便腾出一个位置插入temp。 A[j+1]=temp; //在j+1位置插入temp。 } }
(3)算法时间和空间复杂度
①本题的规模由m和n共同决定。取最内侧循环中A[j+1]=A[j];这一句作为基本操作,其执行次数在最坏的情况下为:f(m,n)=(m+m+n-1)n/2=mn+n2/2–n/22
②算法额外空间中只有一个变量temp,因此空间复杂度为O(1)。
已知递增有序的单链表A,B(A,B中元素个数分别为m,n且A,B都带有头结点)分别存储了一个集合,请设计算法以求出两个集合A和B的差集A-B(即仅由在A中出现而不在B中出现的元素所构成的集合)。将差集保存在单链表A中,并保持元素的递增有序性。
(1)给出算法的基本设计思想。
(2)根据设计思想,采用C或C++语言描述算法,关键之处给出注释。
(3)说明你所设计算法的时间复杂度。
(1)算法基本设计思想:只需从A中删去A与B中共有的元素即可。由于两个链表中元素是递增有序的所以可以这么做:设置两个指针p, q开始时分别指向A和B的开始结点。循环进行以下判断和操作,如果p所指结点的值小于q所指结点值,则p后移一位;如果q所指结点的值小于p所指结点的值,则q后移一位;如果两者所指结点的值相同,则删除p所指结点。最后p与q任一指针为NULL的时候算法结束。
(2)算法描述:
void Difference(LNode *&A, LNode *B) { LNode *p = A->next, *q = B->next; //p和q分别是链表A和B的工作指针。 LNode *pre = A; LNode *r; while(p != NULL && q != NULL) { if(p->data < q->data) { pre = p; //pre 为A中p所指结点的前驱结点的指针。 p = p->next; //A链表中当前结点指针后移。 } else if (p->data > q->data) q = q->next; else { pre->next = p->next; //B 链表中当前结点指针后移。 r = p; //处理A,B中元素值相同的结点,应删除。 p = p->next; free(r); // 删除结点。 } } }
(3)算法时间复杂度分析:由算法描述可知,算法规模由m和n共同确定。算法中有一个单层循环,循环内的所有操作都是常数级的,因此可以用循环执行的次数作为基本操作执行的次数。可见循环执行的次数即为p, q两指针沿着各自链表移动的次数,考虑最坏的情况,即p, q都走完了自己所在的链表,循环执行m+n次。即时间复杂度为O(m+n)。
设计一个算法,将顺序表中的所有元素逆置。
两个变量i,j指示顺序表的第一个元素和最后一个元素,交换i,j所指元素,然后i向后移动一个位置,j向前移动一个位置,如此循环,直到i与j相遇时结束,此时顺序表L中的元素已经逆置。
void reverse(Sqlist &L) { //L要改变,用引用型 int i,j; int temp; //辅助变量,用于交换 for(i=1,j=L.length;i<j;i++,j--) { //当i与j相遇时循环结束 temp=L.data[i]; L.data[i]=L.data[j]; L.data[j]=temp; } }
注意:本题中 for 循环的执行条件要写成 i < j
而不要写成 i != j
。如果数组中元素有偶数个则 i 与 j 会出现下图所示状态,此时i 继续往右走,j 继续往左走,会互相跨越对方,循环不会结束。
设计一个算法,从一给定的顺序表L中删除下标i到j(i≤j,包括i,j)之间的所有元素,假定i,j都是合法的。
本题是顺序表删除算法的扩展,可以采用如下方法解决,从第j+1个元素开始到最后一个元素为止,用这之间的每个元素去覆盖从这个元素开始往前数第j-i+1个元素,即可完成删除i~j之间的所有元素。
本题代码如下:
void Delete(Sqlist &L,int i,int j) { //L要改变,用引用型。 int k,l; l = j-i+1; //元素要移动的距离。 for(k = j + 1;k <= L.length; k++) { L.data[k-l] = L.data[k]; //用第k个元素去覆盖它前边的第l个元素。 } L.length -= l; //表长改变。 }
有一个顺序表L,其元素为整型数据,设计一个算法,将L中所有小于表头元素的整数放在前半部分,大于的整数放在后半部分,数组从下表1开始存储。
本题可以这样解决,先将L的第一个元素存于变量temp中,然后定义两个整型变量i,j。i从左往右扫描,j从右往左扫描。边扫描边交换。具体执行过程如下:
各步的解释如下:
①开始状态, temp = 2,i = 1; j = L.length
②j先移动,从右往左,边移动边检查j所指元素是否比2小,此时发现-1比2小,则执行 L.data[i]=L.data[j];i++;
(i中元素已经被存入temp所以可以直接覆盖,并且i后移一位,准备开始i的扫描)
③i开始移动,从左往右,边移动边检测,看是否i所指元素比2大,此时发现-7比2小,因此i在此位置是什么都不做。
④i继续往右移动,此时i所指元素为-3也比2小,此时什么都不做。
⑤i继续往右移动,此时i所指元素为5,比2大,因此执行 L.data[j] = L.data[i]; j--
(j中元素已被保存,j前移一位,准备开始j的扫描)
⑥j往左运动,此时j所指元素为6,比2大,j在此位置时,什么都不做。
⑦j继续往左移动,此时j==i,说明扫描结束。
⑧执行 L.data[i] = temp;
此时整个过程结束,所有比2小的元素被移到了2前边,所有比2大的元素被移到了2后边。
以上过程要搞清楚两点:
①i和j是轮流移动的,即当i找到比2大的元素时,将i所指元素放入j所指位置,i停在当前位置不,j开始移动。j找到比2小的元素,将j所指元素放在i所指位置,j停在当前位置不动,i开始移动如此交替直到i==j。
②每次元素覆盖(比如执行 L.data[i] = L.data[j];
)不会造成元素丢失,因为在这之前被覆盖位置的元素已经存入其他位置。由以上分析可写出如下算法:
void move(Sqlist &L) { //L要改变所以用引用型 int temp; int i = 1,j = L.length; temp = L.data[i]; while(i<j){ /*关键步骤开始*/ while(i < j&&L.data[j] > temp) j--; //j从左往右扫描,当来到第一个比temp小的元素时停止 ,并且每走一步都要判断i是否小于j,这个判断容易遗漏。 if(i < j) { //检测看是否已仍满足i < j,这一步同样很重要 L.data[i] = L.data[j]; //移动元素。 i++; //i右移一位。 } while(i < j&&L.data[i] < temp) i++; //与上边的处理类似。 if(i < j) { //与上边的处理类似。 L.data[j] = L.data[i]; //与上边的处理类似。 j--; } /*关键步骤结束*/ } L.data[i] = temp; //将表首元素放在最终位置。 }