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结缘电脑60年（彭民德著）

2 数学的严密推理和美的熏陶

我喜欢数学，跟计算机结缘是从跟数学结缘开始的。小学接触的鸡兔同笼等问题，有了代数方程式，就不用再去凑，很快便可以得到确定的解。平面几何的勾股定理，揭示直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，任何直角三角形都无一例外。任意三角形的内心、垂心、重心必定相交于一点。半径为R的圆，其周长必定是2πR，因而任何圆的周长都是无理数，计算时只能得到某个近似值。由于数学上引进了无理数π，圆周长的公式表示比任何实际计算都要准确无误。数学定理和公式简洁明了，体现一种美。其证明之严密令人无容置疑，同样体现数学之美。而0.618黄金分割则更能直接地揭示万物美的数学本质，以至于贯穿到建筑、艺术等一切审美场合。数学推理可以把表面上无关的东西串联起来，锻炼严密思维的习惯。

到了数学系，进入了一个崭新的学习领域。对比之下，原来中学学的是常量数学，现在要学变量数学了。客观世界是变动的，变量数学才更能揭示客观本质，常量只是变量的某个特征点而已，是静止的东西，中学里学的只是入门和基础。变量可能跟一个无限变动的过程相联系。现在老师带领我们走进无限数学知识的海洋，去领略大千世界里无限的数量关系和空间形式，那里太神奇，太美了。

在数学分析中，首先引入无限和极限的概念。现实世界无限无处不在，但往往以有限的形式表现出来。数学上给出无穷大量和无穷小量的准确定义。可以求出许多变量无限过程的极限值。

接着定义有理数和无理数，在数轴上有无限多个有理数，也有无限多个无理数。任意两个数之间都有无限多个无理数和无限多个有理数。有意思的是，全体有理数可以给出一个办法把它们排序，虽然谁也无法真正做到这一点，但是特定的排序方法，可以让每个有理数都处在序列中一个唯一确定的位置。可以证明根号2是无理数，也就是说永远无法用有穷小数位准确表示。

许多无理数都可以表示为某个无穷级数之和，或者某个数列的极限。例如π和e都有许多种无穷级数或者数列的表示方法，某些表示方法还以某个有独到研究的数学家命名。

我第一次接触一个奇怪的函数，定义在整个实数轴上，有理点取函数值0，无理点取1。它严格地符合函数定义，但无论如何无法画图，甚至无法用任何初等方法表示这个函数。这个函数很好地说明了函数和图形的概念不能混同。

有理数可以排序，是可数集合；无理数无法排序，属于不可数集。它们的元素都有无穷多个。但不可数集合上的元素个数要比可数集合上的元素个数多得多。此前我们对于这类集合没有了解。比如说，数轴上任何一条线段上都有不可数的无穷多个点。两个不可数集合上元素个数的多少，似乎无法比较，只好用按照建立一一对应关系的办法来比较。用这样的方法，将看到不同区段，不等长线段上的点，都一样多。因为只要把它们移动一下，作为一个同心圆的不同的圆周，所有的圆它们圆周上的点都处在大圆的同一条半径上，是一一对应的。由此又有结论，数轴上所有的线段，它们的点数都与[0, 1]区间的点数一样多。这个关系真是匪夷所思，难以理解，因为跟我们的直觉不一样。怎么能够说，区间[0, 1]，与区间[0, 10]的点数一样多呢，不是后者要多一些吗？数学家们揭示出来真让人大开眼界，又可以理解。数学是最讲理的，每一步推导都有根据，只要认可数学上的点没有大小厚薄，不同于物理上的点，上述比较方法是科学的，结论就不得不令人信服。

一根实数轴已经包含了让你眼花缭乱的知识，复数平面上又有说不完的话，还不去说那极其抽象的这样那样许多的泛函空间。

数学不相信纯感性的东西，所有结论都要严格地推导，我有过深切的体验。《数学分析》课的期末考试以口试方式进行，学生逐个地考，要求极其严格。两位主考老师，桌上一个题签盒，应考者从盒子里随机地抽一个题，当场口试。我抽的题目是：一个于闭区间〔a, b〕上连续的函数f(x)，若f(a)<0， f(b)>0，那么该区间内必定存在一个点x，其函数值f(x)＝0。我咋一看，觉得很容易，是很显然的结论。就跟老师说，这不用证明吧。连续函数图形从下半平面连续地变化到上半平面，肯定会与x轴相交，这个交点的函数值就是0。老师说，函数不等同于图形，至于连续函数是否能等同于连续的图形，是不是也要证明呢，那就会引出新的论题，因此应该据题设条件用数学分析的方法来证明。我想了想，无从下手，只得放弃。于是落个不及格，上大学后首次考试就不及格，一次难得的不及格体验。

这次考试使我对于数学的严密性有了进一步了解。就这道题目而言，感性是对的，但数学不相信直觉，任何结论都必须经过推理证明。这道题目严格的证明应该是一种构造性的。取区间的中点x1，其函数值有三种可能。如果f(x1)等于0，结论就成立了。如果f(x1)小于0，讨论的范围就从区间〔a, b〕缩小到〔x1, b〕。如果f(x1)大于0，讨论的范围就从区间〔a, b〕缩小到〔a , x1〕。再对新区间取中点x2，判断其函数值。如果还没有出现函数值为0的情况，便将区间的二分工作继续进行下去，将会得到一个越来越小而且后者被前者包含着的区间系列，第i个区间以xi为中点，左右端点的函数值异号。如果不能在第n步得到f(xn)等于0，按照此前已经证明过的区间套定理，这个区间套将最终成为一个点x，其函数值f(x)与0要多近有多近，因而只能是0。什么叫做与0要多近有多近？要做到逻辑上的严密，光用这种自然语言表达还不行，必须用严密的数学语言来表达。这种数学语言叫做“εδ”语言，即对于任何无论多么小的ε，总存在一个δ，使得f（x-δ）<ε。有这种性质的x，才毫无疑问地有f(x)=0。

此后我注意到数学不能凭直觉，必须严格。每个定理、推论都必须一步一步证明。正是其严密，使其成了最美的科学，成就了其科学的皇后地位。

物理学上任何一个物理系统通常用数学上一组微分方程加以描述，物质运动定律甚至用某个简单的数学公式就可以准确地表达。牛顿力学有f=ma，其中f是物体所受的力，m是其质量，a是加速度。有自由落体的S= gt2，其中，S是物体下降高度，t是降落时间， g是重力加速度。高速世界中爱因斯坦相对论的深奥道理体现在数学公式E=mc2当中，其中E是物体的能量，m是物体的质量，c是光速。微观粒子由海森堡揭示的关于粒子不确定性原理是说，测量任意一个粒子动量的误差△E与测量该粒子位置的误差△T的乘积的极小值，不会小于某个确定的量值。如果位置测准了，△T相对很小，体现运动速度的动量△E就会相对地大，就是说，如果位置测准了，速度就测不准，反之亦然。这种现象叫做测不准原理，还是用一个数学式子来表示： min(△E×△T)= h/（2π）其中h是普朗克常数，虽然很小，但它还是个常数。信息领域中香农有信息量公式，其中P表示事件出现的概率，I表示该事件所包含的信息量。渗透到各个领域的精美的数学公式不胜枚举。马克思曾经断言，一门科学只有在它成功运用数学时，才算达到了真正完善的地步。

感谢数学，给了我逻辑和美的熏陶。饱览了数学的无限风光，跨入了科学殿堂的大门后，再往前走一步，设法把数学运用于工程，像架长江大桥那样，为祖国建设服务，那就要进入计算数学领域了。

原文 http://www.ituring.com.cn/article/215924

正文到此结束