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PHP 算法学习之动态规划（二）

之前简单介绍了动态规划的概念和解题步骤，但是学习中感觉动态规划的应用范围太灵活了，这里就挑一些常见的题目多练习一下。

1、最长公共子序列（字符串相关）

给出两个字符串，找到最长公共子序列(LCS)，返回LCS的长度。例如：

例如：给出"ABCD"和"EDCA"，这个LCS是 "A"(或 D或C)，返回1；

给出"ABCD" 和 "EACB"，这个LCS是"AC"返回2。

思路：长度为m的字符串a和长度为n的字符串b，他们的最长公共子序列longest[m][n]可通过m-1长度的a和n-1长度的b推得：当a[m]等于b[n]的时候，longest[m][n] = longest[m-1][n-1] + 1；当a[m]不等于b[n]时，longest[m][n]=max(longest[m-1][n], longest[m][n-1])。当字符串a或者b为空字符串时，它与另一个字符串的最长公共子序列必然是0。最后题目的解即为longest[strlen(a)][strlen(b)]。

代码：

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2、编辑距离（字符串相关）

给出两个单词word1和word2，计算出将word1 转换为word2的最少操作次数。

你总共三种操作方法：插入一个字符、删除一个字符、替换一个字符。

例如：给出 work1="mart" 和 work2="karma"，返回 3。

思路：对于长度为m的字符串a和长度为n的字符串b（m、n都大于0），如果a[m]不等于b[n]，那么a变为b的最小操作次数=min(a[m-1]变为b[n]的最小操作次数+1，a[m]变为b[n-1]的最小操作次数+1，a[m-1]变为b[n-1]的最小操作次数)；如果a[m]等于b[n]，那么a[m]变为b[n]的最小操作次数=a[m-1]变为b[n-1]的最小操作次数。

代码：

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3、背包问题

给出n个物品的体积A[i]和其价值V[i]，将他们装入一个大小为m的背包，最多能装入的总价值有多大？

例如：对于物品体积[2, 3, 5, 7]和对应的价值[1, 5, 2, 4], 假设背包大小为10的话，最大能够装入的价值为9。

思路：当空间为v时，对于任意一个物品i，如果i可以放入（v大于等于weight[i]），则此时v空间的价值f(v)等于f(v-weight[i]) + values[i]，因此通过遍历全部物品可以找到在空间为v时所能得到的最大值。

代码：

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4、区间问题（谷歌面试题）

有n个硬币排成一条线，每一枚硬币有不同的价值。两个参赛者轮流一从任意一边取一枚硬币，直到没有硬币为止。计算拿到的硬币总价值，价值最高的获胜。请判定第一个玩家是输还是赢？

例如：给定数组[3,2,2]，返回true；给定数组[1,20,15]，返回false。

思路：对于给定的一个闭区间（i到j，j大于等于i），玩家A拿硬币只有两种拿法，从左拿或者从右拿。如果从左拿，则A能拿到的最大面值=拿到的这枚硬币的面值 + 剩余区间的总面值 - B玩家在剩余区间能拿到的最大面值；A从右拿的情况与从左拿类似。由此我们可以得到状态转移方程。而通过两次循环我们能够得到长度为n的序列里任意i到j区间的面值总和，以及j=i的情况下先手玩家拿到的最大值（即第i个硬币的面值）。

代码：

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