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动态规划算法的思想及实现

介绍

动态规划(简称DP)是算法设计思想当中最难也是最有趣的部分了，动态规划适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，是一种在数学、计算机科学和经济学中经常使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。使用动态规划方法解题有较高的时间效率，关键在于它减少了很多不必要的计算和重复计算的部分

它的思想就是把一个大的问题进行拆分，细分成一个个小的子问题，且能够从这些小的子问题的解当中推导出原问题的解。同时还需要满足以下两个重要性质才能进行动态规划

最优子结构性: 既所拆分的子问题的解是最优解。
子问题重叠性质: 既在求解的过程当中，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率

举个栗子

首先先引一道动态规划的经典问题 最长不下降子序列

它的定义是: 设有由n个不相同的整数组成的数列b[n],若有下标$i_1<i_2<···<i_L$ 且 $b[i_1]<b[i_2]<···<b[i_L]$

则称存在一个长度为L的不下降序列。

例如

13,7,9,16,38,24,37,18,44,19,21,22,63,15

那么就有13<16<38<44<63长度为5的不下降子序列。

但是经过观察实际上还有7<9<16<18<19<21<22<63长度为8的不下降子序列，那么是否还有更长的不下降子序列呢？请找出最长的不下降子序列

输入格式

第一行为n，表示n个数(n<=100000),第二行为n个数的数值(数字之间用空格隔开且最后一个数字末尾不能留有空格)

输出格式

一个整数，表示最长不下降子序列的长度。

输入例子

1 3 1 2

输出例子

思路

假如要求得某一段的最优，就要想更小段的最优怎么求，再看看由最小段的最优能否扩大推广到最大段的最优;

假设这么一个表:

序列下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
序列数值	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
序列长度	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
链接位置	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

> 第三行表示该序列元素的所能连接的最长不下降子序列的长度，因为本身长度为1，所以初始值都为1 > 第四行表示链接于哪个序列元素形成最长不下降子序列先从倒数第二项63算起，在它的后面仅有一项，因此仅作一次比较，因为63>15，所以从63出发，不作任何链接，长度还是为1。再看倒数第三项22，在它的后面有2项，因此必须要在这2项当中找出比22大，长度又是最长的数值作为链接，由于只有22<63,所以修改22的长度为2，即自身长度加上所链接数值的长度，并修改链接位置为13，也就是63的下标。再看倒数第四项21，在它的后面有3项，因此必须要在这3项当中找出比21大，长度又是最长的数值作为链接(注意:是长度)，很容易看出，数值22满足该条件，因此，修改21的长度为3，并修改链接位置为12，即22的序列下标。依次类推，最后结果如下表:

序列下标	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
序列数值	13	7	9	16	38	24	37	18	44	19	21	22	63	15
序列长度	7	8	7	6	3	4	3	5	2	4	3	2	1	1
链接位置	4	3	4	8	9	7	9	10	13	11	12	13	0	0

> 最终状态的转移方程式为: $f(i) = max {f(j)} +1 (b_j<b_i 且 i<j)$.时间复杂度为$O(n^2)$ 代码

process.stdin.setEncoding('utf8');

var arr = [];
var bool = 0;
var n = 0;
var longest = 1;
var a = [];
var dp = [];

process.stdin.on('readable', function() {
  var chunk = process.stdin.read();
  if (chunk !== null) {
      arr.push(chunk.trim())
  }

  if(bool>=2){
      n = arr[0];
      process.stdin.emit('end')
  }

  bool++

});


process.stdin.on('end', function() {

    a = arr.slice(1).join(" ").split(" ").map(function(index, elem) {
        return parseInt(index);
    })

    for(let i = 0;i<n;i++){
        dp[i] = 1;
    }

    for(let i = 1;i<n;i++){

        for(let j = 0;j<i;j++){
            if(a[i]>a[j]){
                dp[i] = Math.max(dp[j]+1,dp[i])
            }
            longest = Math.max(dp[i],longest)
        }

    }

    console.log("最长长度为:"+longest);


      process.stdout.write('end');
});

原文 https://segmentfault.com/a/1190000008244955

正文到此结束