遗传算法中适值函数的标定与大变异算法
前言
本文尝试对遗传算法中不同适值函数的标定(Scaling)方法进行下总结，并针对常用的线性标定和动态线性标定进行了Python实现，以装饰器的形式添加到遗传算法框架GAFT中，这样在使用GAFT运行遗传算法迭代的时候可以更加Pythonic的给自定义的适值函数进行标定。最后针对能够防止早熟情况的大变异算法进行了相应的实现。
目前(动态)线性标定装饰器以及大变异算子均已添加到GAFT中，gaft项目链接:
- GitHub: https://github.com/PytLab/gaft
- PyPI: https://pypi.python.org/pypi/gaft
适值函数的标定
选择压力
The tendency to select the best member of the current generation is known as selective pressure.
选择压力也就是种群中最好个体与最坏个体被选中概率的差值，这个差距越大，选中好个体的趋势就越大，则成为选择压力大。
适值函数的标定
一般情况下，直接拿目标函数作为适值函数十分的方便，但是很多情况下却不能这么做，例如对于求最小值问题，我们必须将目标函数取反才能作为适值函数(这是最简单的情况)。
当我们遗传算法中不同个体适值函数的值相对差别很小的时候，我们根据适应度值的大小进行个体选择的选择压力(Selective pressure)就会变小，选优的能力弱化，这个时候我们需要对原始的适值函数进行标定(Scaling)是的他们相对差别增大，进而增大选择压力，增强算法的选优能力。
例如:
局部搜索、广域搜索与选择压力的关系
在遗传算法中，局部搜索同广域搜索其实相互矛盾的，注重局部搜索则会陷入局部最优，但是注重广域搜索会导致算法精确开发能力不强。因此需要综合两者考虑，我们可以在搜索刚刚开始的时候使用较小的选择压力来广域搜索，随着迭代的进行可以动态的增大选择压力来使算法偏向于局部搜索。
几种不同的适值函数标定方法
对目标函数的标定方法一般有:线性标定、动态线性标定、幂律标定、对数标定等
线性标定
线性标定的形式:
其中f′为标定后的适值函数，ff为原始的目标函数。
求最大值
对于求目标函数的最大值的时候, 即 arg max f(x)
我们取a=1,b=?fmin+ξ, 其中ξ是一个较小的数，目的是使得种群中最差个体也有被选中的机会，不然自身减掉f?fmin=0, ξ的存在可以增加种群的多样性。
最终的适值函数表达式:
求最小值
当我们需要求目标函数最小值的时候，arg min f(x)，我们需要对目标函数进行取反操作, 即 厦门堆高车
a=?1,b=fmax?f(x)+ξ
最终的适值函数表达式:
GAFT中添加对于目标函数的标定
由于适值函数标定并不针对某个目标函数，我便想通过装饰器的方式来方便给任何自定义的fitness函数进行标定。对于基本的线性标定，我在GAEngine中添加了个带参数的装饰器:
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def linear_scaling(self, target='max', ksi=0.5):
'''
A decorator constructor for fitness function linear scaling.
:param target: The optimization target, maximization or minimization.
:type target: str, 'max' or 'min'
:param ksi: Selective pressure adjustment value.
:type ksi: float
Linear Scaling:
1. arg max f(x), then f' = f - min{f(x)} + ksi;
2. arg min f(x), then f' = max{f(x)} - f(x) + ksi;
'''
def _linear_scaling(fn):
# For original fitness calculation.
self.ori_fitness = fn
@wraps(fn)
def _fn_with_linear_scaling(indv):
# Original fitness value.
f = fn(indv)
# Determine the value of a and b.
if target == 'max':
f_prime = f - self.ori_fmin + ksi
elif target == 'min':
f_prime = self.ori_fmax - f + ksi
else:
raise ValueError('Invalid target type({})'.format(target))
return f_prime
return _fn_with_linear_scaling
return _linear_scaling
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这个时候如果我们在定义了一个自己的目标函数以后，想对其进行线性标定便可以使用engine的这个装饰器对函数进行修饰即可, 像下面这样:
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# Create a GA engine...
# 先标定，后注册到引擎中
@engine.fitness_register
@engine.linear_scaling(target='min', ksi=0.5)
def fitness(indv):
x, = indv.variants
return x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x)
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其中装饰器中的参数分别为:
- target: 优化目标函数到最小值还是最大值，值可以是:'max'或者'min'
- ksi: 即公式中ξξ
动态线性标定
动态线性标定是遗传算法中最常用的标定方法，他是基于上面提到的线性标定，在线性标定中的ξξ在动态线性标定中并不是一成不变的，而是随着迭代次数的增加而变化。
动态线性标定的函数表达式:
其中，k为迭代指标，表示ξ会随着迭代数而不同。
求最大值
当我们的优化目标是目标函数的最大值，这是我们取ak=1,bk=?fmin+ξk, 这是的函数表达为:
求最小值
求最小值的时候需要取反操作，这时取ak=?1,bk=fmax+ξk, 最终函数表达式:
关于ξk
动态线性标定中的ξk作用同线性标定中的ξ为选择压力调节值, 它的存在使得种群中最坏的个体仍有被选中的机会，但是动态标定中的ξkξk的值会随着kk增大而减小。
ξkξk的取值: ξ0=M,ξk=ξk?1?r,r∈[0.9,0.999], 我们通过调节M和r来调节ξk
通过可以动态变化的ξk，我们可以使广域搜索范围宽保持种群的多样性，局部搜索保持收敛性，即，开始时希望选择小，迭代到后面希望选择压力逐渐变大.
GAFT中添加给目标函数添加动态线性标定
与上面线性标定的方法相同，GAFT中同样使用了标定装饰器来装饰用户自定义的目标函数，实现代码:
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def dynamic_linear_scaling(self, target='max', ksi0=2, r=0.9):
'''
A decorator constructor for fitness dynamic linear scaling.
:param target: The optimization target, maximization or minimization.
:type target: str, 'max' or 'min'
:param ksi0: Initial selective pressure adjustment value, default value
is 2
:type ksi0: float
:param r: The reduction factor for selective pressure adjustment value,
ksi^(k-1)*r is the adjustment value for generation k, default
value is 0.9
:type r: float in range [0.9, 0.999]
Dynamic Linear Scaling:
For maximizaiton, f' = f(x) - min{f(x)} + ksi^k, k is generation number.
'''
def _dynamic_linear_scaling(fn):
# For original fitness calculation.
self.ori_fitness = fn
@wraps(fn)
def _fn_with_dynamic_linear_scaling(indv):
f = fn(indv)
k = self.current_generation + 1
if target == 'max':
f_prime = f - self.ori_fmin + ksi0*(r**k)
elif target == 'min':
f_prime = self.ori_fmax - f + ksi0*(r**k)
else:
raise ValueError('Invalid target type({})'.format(target))
return f_prime
return _fn_with_dynamic_linear_scaling
return _dynamic_linear_scaling
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这里充分的利用Python的闭包，在engine中获取当前种群最大值与最小值的相关数据。
在脚本中修饰目标函数便可以这样:
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@engine.fitness_register
@engine.dynamic_linear_scaling(target='max', ksi0=2, r=0.9)
def fitness(indv):
x, = indv.variants
return x + 10*sin(5*x) + 7*cos(4*x)
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其他标定方法
这里简要的介绍下其他标定方法。
幂律标定
- 函数表达式: f′=fα
- α的取值, α>1增大选择压力, α<1减小选择压力
对数标定
- 函数表达式: f′=aLnf+b
- 作用: 缩小目标函数之间的差别
指数标定
- 函数表达式: f′=aebf+c
- 作用: 扩大目标函数间的差别
窗口技术
- 函数表达式: f′=af?fw
- fw为前W代中的目标函数最小值，他考虑了各代fmin的波动，这样fw具有记忆性
大变异算法
众所周知，简单的遗传算法存在“早熟”的问题，也就是算法过早的收敛到一个非全局最优点，出现此问题的主要原因是一种被称为“顶端优势”的现象存在，即当算法进行到某一代时，在种群中某个个体的适应度远远大于任何一个个体的适应度，导致选择算法总是会选到此个体生成子代个体，极限情况下就是所有个体都来自统一祖先，即”早熟”。除了对目标函数进行标定，我们可以通过大变异算法来避免早熟。
大致思路: 当某代中所有个体集中在一起时，我们以一个远大于通常变异概率的概率执行一次变异操作，具有大变异概率的变异操作能够随机、独立的产生许多新的个体，从而是整个种群脱了“早熟”。
如何判断种群个体的集中程度
通常采取比较种群中所有个体的适应度值的平均值favg与最大值fmax的接近程度来判断，如果最大值与平均值越接近说明个体就越集中。
具体过程
当某一代的最大适应度fmax与平均适应度值favg满足:
其中，0.5<α<1, 被称为密集因子，表征个体集中程度。随后，我们以一个大变异概率进行一次变异操作(通常大5倍以上), 即“打散”。
大变异操作的两个参数
- 密集因子α: 决定大变异操作在整个过程中所占的比重，其数值约接近0.5，大变异操作越频繁
- 大变异概率: 概率越大，大变异算法的稳定性就越好，但是收敛速度可能会降低，当大变异概率的数值为0.5的时候，大变异操作就近似退化为随机搜索
GAFT中的大变异算子
大变异操作与具体的变异算子实现无关，这里我还是依据内置的FlipBitMutation算子为基础, 具体的代码实现参见https://github.com/PytLab/gaft/blob/master/gaft/operators/mutation/flip_bit_mutation.py
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class FlipBitBigMutation(FlipBitMutation):
def __init__(self, pm, pbm, alpha):
'''
Mutation operator using Flip Bit mutation implementation with adaptive
big mutation rate to overcome premature or local-best solution.
:param pm: The probability of mutation (usually between 0.001 ~ 0.1)
:type pm: float in (0.0, 1.0]
:param pbm: The probability of big mutation, usually more than 5 times
bigger than pm.
:type pbm: float
:param alpha: intensive factor
:type alpha: float, in range (0.5, 1)
'''
super(self.__class__, self).__init__(pm)
if not (0.0 < pbm < 1.0):
raise ValueError('Invalid big mutation probability')
if pbm < 5*pm:
self.logger.warning('Relative low probability for big mutation')
self.pbm = pbm
# Intensive factor.
if not (0.5 < alpha < 1.0):
raise ValueError('Invalid intensive factor, should be in (0.5, 1.0)')
self.alpha = alpha
def mutate(self, individual, engine):
'''
Mutate the individual with adaptive big mutation rate.
'''
pm = self.pm
if engine.fmax*self.alpha < engine.fmean:
self.pm = self.pbm
self.logger.info('Big mutation probabilty: {} -> {}'.format(pm, self.pm))
# Mutate with big probability.
individual = super(self.__class__, self).mutate(individual, engine)
# Recover probability.
self.pm = pm
return individual
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总结
本文尝试对遗传算法中不同适值函数的标定(Scaling)方法进行下总结，并针对常用的线性标定和动态线性标定进行了Python实现，以装饰器的形式添加到遗传算法框架GAFT中，这样在使用GAFT运行遗传算法迭代的时候可以更加Pythonic的给自定义的适值函数进行标定。最后针对能够防止早熟情况的大变异算法进行了相应的实现。
参考
- 《MATLAB最优化计算(第三版)》
- 马钧水, 刘贵忠, 贾玉兰. 改进遗传算法搜索性能的大变异操作[J]. 控制理论与应用, 1998(3):404-408.
正文到此结束
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