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第九届蓝桥杯Java B——测试次数

x星球的居民脾气不太好,但好在他们生气的时候唯一的异常举动是:摔手机。

各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试,并且评定出一个耐摔指数来,之后才允许上市流通。

x星球有很多高耸入云的高塔,刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的,与地球上稍有不同的是,他们的第一层不是地面,而是相当于我们的2楼。

如果手机从第7层扔下去没摔坏,但第8层摔坏了,则手机耐摔指数=7。

特别地,如果手机从第1层扔下去就坏了,则耐摔指数=0。

如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏,则耐摔指数=n

为了减少测试次数,从每个厂家抽样3部手机参加测试。

某次测试的塔高为1000层,如果我们总是采用最佳策略,在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢?

请填写这个最多测试次数

我们把$M$层楼 / $N$个手机的问题转化成一个函数$F(M,N)$,其中楼层数$M$和手机数$N$是函数的两个参数,而函数的值则是最优解的最大尝试次数

假设我们第一个手机扔出的位置在第$X/ (1 /leq X /leq M)$层,会出现两种情况

  1. 第一个手机没碎,那么剩余的$M-X$层楼,剩余$N$个手机,可以转变为函数:$F(M-X,N)+ 1,1/leq X/leq M$
  2. 第一个手机碎了,那么只剩下从$1$层到$X-1$层楼需要尝试,剩余的手机数量是$N-1$,可以转变为函数:$F(X-1,N-1) + 1,1/leq X/leq M$

整体而言,我们要求出的是$M$层楼 / $N$个手机的条件下,最大尝试次数最小的解,所以这个题目的状态转移方程式如下:

$$

F(M,N) = Min(Max(F(M-X,N) + 1,F(X-1,N-1) + 1)),1/leq X/leq M

$$

根据动态规划状态转移方程是和自底向上的求解思路,我们需要从1个手机1层楼的最优尝试次数,一步一步推导后续的状态,直到计算出3个手机4层楼的尝试次数为止

第九届蓝桥杯Java B——测试次数

首先我们可以填充第一个手机在各个楼层的尝试次数,以及任意多手机在1层楼的尝试次数

第九届蓝桥杯Java B——测试次数

2个手机2层楼的情况就需要带入状态转移方程式了

$$

F(2,2) = Min(Max(F(2-X,2) + 1,F(X-1,2-1) + 1)),1/leq X/leq 2

$$

因为$X$的取值是1和2,我们需要对$X$的值逐一来尝试,计算过程就不展示了,给出结果是$F(2,2)=2$

第九届蓝桥杯Java B——测试次数

接下来我们看一看2个手机3层楼的情况:

$$ F(2,3) = Min(Max(F(3-X,2) + 1, F(X-1,2-1) + 1)),1/leq X/leq 3 $$

原文  https://www.wmathor.com/index.php/archives/1290/
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