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数据结构与算法—二叉排序树(java)

前言

前面介绍学习的大多是线性表相关的内容，把指针搞懂后其实也没有什么难度。规则相对是简单的。

再数据结构中 树 、 图 才是数据结构标志性产物，(线性表大多都现成api可以使用),因为树的 难度相比线性表大一些 并且树的 拓展性很强 ，你所知道的树、二叉树、二叉排序树，AVL树，线索二叉树、红黑树、B数、线段树等等高级数据结构。然而二叉排序树是所有的基础，所以彻底搞懂二叉排序树也是非常重要的。

树

数据结构与算法—二叉排序树(java)

参考王道数据结构

二叉树也是树的一种，而二叉排序树又是二叉树的一种。

树是 递归 的，将树的任何一个节点以及节点下的节点都能组合成一个 新的树 。并且很多操作基于递归完成。
根节点：最上面的那个节点(root)，根节点 没有前驱节点 ，只有子节点（0个或多个都可以）
层数：一般认为根节点是 第1层 (有的也说第0层)。而树的高度就是层数最高(上图层数开始为1)节点的层数
节点关系: 父节点 ：就是链接该节点的上一层节点, 孩子节点: 和父节点对应，上下关系。而 祖先节点 是父节点的父节点(或者祖先）节点。 兄弟节点： 拥有同一个父节点的节点们！
度：节点的度就是节点拥有 孩子节点 的个数(是孩子不是子孙).而树的度(最大)节点的度。同时，如果度大于0就成为 分支节点 ,度等于0就成为 叶子节点 （没有子孙）。

二叉树

二叉树是一树的一种，但应用比较多，所以需要深入学习。二叉树的每个节点 最多只有两个节点 。

二叉树与度为2的树的区别：

一：度为2的的树必须有三个节点以上，二叉树可以为空。
二：二叉树的度不一定为2：比如说斜树。
三：二叉树有左右节点区分，而度为2的树没有左右节点的区分。

几种特殊二叉树：

满二叉树。高度为n的满二叉树有2n-1个节点
完全二叉树：上面一层全部满，最下一层从左到右顺序排列
二叉排序树：树按照一定规则插入排序(本文详解)。
平衡二叉树：树上任意节点左子树和右子树深度差距不超过1.

二叉树性质：

相比树，二叉树的性质就是树的性质更加具体化。

非空二叉树叶子节点数= 度为2的节点树+1 .本来一个节点如果度为1.那么一直延续就一个叶子，但如果出现一个度为2除了延续原来的一个节点，会多出一个节点需要维系。所以到 最后会多出一个叶子 。
非空第i层最多有2i-1个节点。
高为h的树最多有2h-1个节点(等比求和)。
完全二叉树 若从左往右，从上到下编号如图：

二叉排序(搜索)树

概念

前面铺垫那么多，咱们 言归正传 ，详细实现一个二叉排序树。首先要了解二叉排序树的规则：

从任意节点开始，节点左侧节点值总比节点右侧值要小。

例如。一个二叉排序树依次插入 15，6，23，7，4，71，5，50 会形成下图顺序

构造

首先二叉排序树是由若干 节点 构成。

对于node需要这些属性： left，right，和value 。其中left和right是左右指针，而value是储存的数据，这里用int 类型。

node 类构造为：

class node {//结点
	public int value;
	public node left;
	public node right;
	public node()
	{
	}
	public node(int value)
	{
		this.value=value;
		this.left=null;
		this.right=null;
	}
	public node(int value,node l,node r)
	{
		this.value=value;
		this.left=l;
		this.right=r;
	}			
}

既然节点构造好了，那么就需要节点等其他信息构造成树。有了链表构造经验，很容易得知一棵树最主要的还是 root根节点 。

所以树的构造为：

public class BinarySortTree {
	node root;//根
	public BinarySortTree()
	{root=null;}
	public void makeEmpty()//变空
	{root=null;}
	public boolean isEmpty()//查看是否为空
	{return root==null;}
	//各种方法
}

数据结构与算法—二叉排序树(java)

主要方法

既然已经构造号一棵树，那么就需要实现主要的方法。因为二叉排序树中每个节点都能看作一棵树。所以我们创建方法的是时候加上 节点参数 (也就是 函数对每一个节点都能有效 )

findmax(),findmin()

findmin()找到最小节点：

因为所有节点的最小都是往左插入，所以只需要找到最左侧的返回即可。

findmax()找到最大节点：

因为所有节点大的都是往右面插入，所以只需要找到最右侧的返回即可。

代码使用递归函数

public node findmin(node t)//查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value
{
	if(t==null) {return null;}
	else if(t.left==null) {return t;}
	else return(findmin(t.left));	
}
public node findmax(node t)//查找最大
{
	if(t==null) {return null;}
	else if(t.right==null) {return t;}
	else return(findmax(t.right));	
}

数据结构与算法—二叉排序树(java)

isContains(int x)

这里的意思是查找二叉查找树中是否存在x。

假设我们我们插入x，那么如果存在x我们一定会在查找插入 路径的过程中遇到x 。因为你可以如果已经存在的点，再它的前方会走一次和它相同的步骤。也就是说前面固定， 我来1w次x，那么x都会到达这个位置 。那么我们直接进行查找比较即可！

public boolean isContains(int x)//是否存在
{
	node current=root;
	if(root==null) {return false;}
	while(current.value!=x&&current!=null) 
	{
		if(x<current.value) {current=current.left;}
		if(x>current.value) {current=current.right;}
		if(current==null) {return false;}//在里面判断如果超直接返回
	}
	//如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错
	 if(current.value==x) {return true;}		
	return false;		
}

insert(int x)

插入的思想和前面 isContains 类似。找到自己的位置(空位置)插入。但是又不太一样。你可能会疑问为什么不直接找到最后一个空，然后将current赋值过去 current=new node(x) 。这样的化current就相当于指向一个new node(x)节点。和树就脱离关系，所以要提前判定是否为空，若为空将它的 left或者right 赋值即可。

public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
{
	node current = root;
	if (root == null) {
		root = new node(x);
		return root;
	}
	while (current != null) {
		if (x < current.value) {
			if (current.left == null) {
				return current.left = new node(x);}
			else current = current.left;}
	    else if (x > current.value) {
			if (current.right == null) {
				return current.right = new node(x);}
			else current = current.right;
		}
	}
	return current;//其中用不到
}

比如说上面结构 插入51

delete(int x)

删除操作算是一个相对较难理解的操作了。

删除节点规则：

先找到这个点。这个点用这个点的子树可以补上的点填充该点，然后在以这个点为头删除替代的子节点（调用递归）然后在添加到最后情况（只有一个分支，等等）。
首先要找到移除的位置，然后移除的那个点 分类讨论 ，如果有两个儿子，就选 右边儿子的最左侧那个点替代 ，然后再 子树删除替代的那个点 。如果是一个节点，判断是左空还是右空，将这个点 指向不空的那个 。不空的那个就替代了这个节点。入股左右都是空，那么他自己变空null就删除了。

删除的节点没有子孙:

这种情况不需要考虑，直接删除即可。(途中红色点)。另 节点=null 即可。

左节点为空、右节点为空：

此种情况也很容易，直接将 删除点的子节点放到被删除位置 即可。

左右节点均不空

这种情况相对是复杂的。因为这 涉及 到一个策略问题。
如果拿 19或者71 节点填补。虽然可以保证部分侧大于小于该节点，但是会引起 合并的混乱 .比如你若用71替代23节点。那么你需要考虑三个节点 (19,50,75) 之间如何处理，还要考虑他们是否满，是否有子女。这是个极其复杂的过程。
首先，我们要分析我们要的这个点的属性：能够继承被删除点的所有属性。如果取左侧节点(例如17)那么首先能满足所有右侧节点都比他大（右侧比左侧大）。那么就要再这边 选一个最大的点 让左半枝都比它小。我们分析 左支最大的点 一定是 子树最右侧 ！
如果这个节点是最底层我们很好考虑，可以 直接替换值，然后将最底层的点删除 即可。但是 如果 这个节点 有左枝 。我们该怎么办？
这个分析起来也不难，用递归的思想啊。我们删除这个节点，用可以 满足的节点替换 了。会产生什么样的后果？
多出个用过的19节点，转化一下，在左子树中删除 19 的点！那么这个问题又转化为删除节点的问题，查找左子树中有没有能够替代 19 这个点的。

所以整个删除算法流程为：

代码为

public node remove(int x, node t)// 删除节点
	{
		if (t == null) {
			return null;
		}
		if (x < t.value) {
			t.left = remove(x, t.left);
		} else if (x > t.value) {
			t.right = remove(x, t.right);
		} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空
		{
			t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代
			t.right = remove(t.value, t.right);
		} else // 左右单空或者左右都空
		{
			if (t.left == null && t.right == null) {
				t = null;
			} else if (t.right != null) {
				t = t.right;
			} else if (t.left != null) {
				t = t.left;
			}
			return t;
		}
		return t;
	}

完整代码

二叉排序树完整代码为：

package 二叉树;

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

public class BinarySortTree {
	class node {// 结点
		public int value;
		public node left;
		public node right;

		public node() {
		}

		public node(int value) {
			this.value = value;
			this.left = null;
			this.right = null;
		}

		public node(int value, node l, node r) {
			this.value = value;
			this.left = l;
			this.right = r;
		}
	}

	node root;// 根

	public BinarySortTree() {
		root = null;
	}

	public void makeEmpty()// 变空
	{
		root = null;
	}

	public boolean isEmpty()// 查看是否为空
	{
		return root == null;
	}

	public node findmin(node t)// 查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value
	{
		if (t == null) {
			return null;
		} else if (t.left == null) {
			return t;
		} else
			return (findmin(t.left));
	}

	public node findmax(node t)// 查找最大
	{
		if (t == null) {
			return null;
		} else if (t.right == null) {
			return t;
		} else
			return (findmax(t.right));
	}

	public boolean isContains(int x)// 是否存在
	{
		node current = root;
		if (root == null) {
			return false;
		}
		while (current.value != x && current != null) {
			if (x < current.value) {
				current = current.left;
			}
			if (x > current.value) {
				current = current.right;
			}
			if (current == null) {
				return false;
			} // 在里面判断如果超直接返回
		}
		// 如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错
		if (current.value == x) {
			return true;
		}
		return false;
	}

	public node insert(int x)// 插入 t是root的引用
	{
		node current = root;
		if (root == null) {
			root = new node(x);
			return root;
		}
		while (current != null) {
			if (x < current.value) {
				if (current.left == null) {
					return current.left = new node(x);}
				else current = current.left;}
		    else if (x > current.value) {
				if (current.right == null) {
					return current.right = new node(x);}
				else current = current.right;
			}
		}
		return current;//其中用不到
	}

	public node remove(int x, node t)// 删除节点
	{
		if (t == null) {
			return null;
		}
		if (x < t.value) {
			t.left = remove(x, t.left);
		} else if (x > t.value) {
			t.right = remove(x, t.right);
		} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空
		{
			t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代
			t.right = remove(t.value, t.right);
		} else // 左右单空或者左右都空
		{
			if (t.left == null && t.right == null) {
				t = null;
			} else if (t.right != null) {
				t = t.right;
			} else if (t.left != null) {
				t = t.left;
			}
			return t;
		}
		return t;
	}
}