【抽象代数】 04 - 类方程和有限群

之前两篇是群的基本概念，我们对群的结构了解得还很少。进一步的研究需要深入其本质，找到群最关键的特点。群的核心其实就是它的变换规律，要想看得更多，就必须回归到变换的特点上来。由此要把群放在更生动的场景下，才能体现其本性。这个思路是群论思想的精髓，后面我们还会回来继续研究，而这里只撷取比较简单的一种手段作为预热，并以其在有限群下应用来体会这种方法的强大。

1. 类方程

1.1 群的作用

前面提到过，/(gG/)将/(G/)中的元素作了一个变换，同样/(g(aH)/)也是对陪集的一个变换。看来我们有必要将这样的变换提出来单独研究，变换是从一个群/(G/)作用到一个集合/(X/)，结果还是在/(X/)中。用函数的方法表示这个变换：/(g(x)/)，其中/(g/in G/)，/(x,g(x)/in X/)。为了能用到群的性质，首先自然是是要求下式左成立（保持运算），其次还要求逆元能将元素还原，即/(g^{-1}(g(x))=x/)，故还要求下式右成立。这样的变换一般叫/(G/)在/(X/)上的 作用 （action）。

/[g_1g_2(x)=g_1(g_2(x)),/quad e(x)=x/tag{1}/]

作用的结果可以写成一张表，行为/(G/)列为/(X/)，从两个维度分别考察会得到有趣的结果。变换中最重要一类就是/(g(x)=x/)的情况，其中/(g/)称为/(x/)的 稳定子 （stabilizer），/(x/)所有的稳定子记作/(S_x/)，容易证明它是一个子群。/(x/)称为/(g/)的 不动元素 （fixed element），/(g/)的所有不动元记作/(F_g/)。对所有/(g/)都不动的也叫/(G/)的不动元素，记为/(F_G/)，它在研究问题时非常重要。接下来，分别从行、列两个方向研究这张表。

先从/(G/)的方向考察/(g(x)/)，即对于指定的/(x/)，/(g(x)/)的取值情况。/(g(x)/)的所有取值称为/(x/) 轨道 （orbit），记作/(O_x/)。如果/(g(x)=y/in O_x/)，则有/(g^{-1}(y)=x/in O_y/)。故不同的/(O_x/)之间要么完全相同，要么没有交集，其中的元素是一个等价关系。轨道中只有一个元素的，便是/(G/)的不动元。

一个自然的问题是，/(O_x/)中究竟有多少元素？若/(g_1,g_2/)使得/(g_1(x)=g_2(x)/)，则有/(g_{-1}g_2(x)=x/)，从而/(g_1,g_2/)同属于/(S_x/)的一个陪集。这就是说/(O_x/)中不同元素的个数为/([G:S_x]/)。如果为所有轨道选一个代表/(x_1,x_2,/cdots,x_n/)，则有以下 类方程 。

/[|X|=[G:S_{x_1}]+[G:S_{x_2}]+/cdots+[G:S_{x_n}]/tag{2}/]

另外，同属于一个轨道的稳定子有什么关系呢？假设/(g(x)=y/)，将/(x=g^{-1}(y)/)带入/(a(x)=x/)，则有/(gag^{-1}(y)=y/)，所以就得到/(gS_xg^{-1}=S_y/)。这个性质让我们想到正规子群，即对任意/(N/trianglelefteq G/)，可有/(N/cap S_x=N/cap S_y/)。从而/(G/)作用下的一个轨道在/(N/)下有相同的稳定子，即那个轨道在/(N/)下被分成同样长的多个轨道。特别地，如果/(G/)下只有一个轨道，则/(N/)的每个轨道一样长。

最后再从/(X/)的方向考察/(g(x)/)，即对于指定的/(g/)，/(g(x)/)的取值情况。首先若/(g(x)=g(y)/)，则/(g^{-1}(g(x))=g^{-1}(g(y))/)，即有/(x=y/)，/(g/)的作用是/(X/)上的一个置换。现在分别从行、列两个方向统计满足/(g(x)=x/)都有元素对/((g,a)/)，有/(/sum_{g/in G}|F_g|=/sum_{x/in X}|S_x|=/sum_{k=1}^{n}|O_{x_k}||S_{x_k}|=n|G|/)，整理便得到以下等式，它称为 伯恩赛德 （Burnside）定理，在组合数学中有广泛的应用。

/[n=/dfrac{1}{|G|}/sum_{g/in G}|F_g|/tag{3}/]

1.2 共轭

不管是正规子群，还是上面的群的作用，其中都出现了/(gSg^{-1}/)的身影。现在就让我们来对它进一步研究，令/(X/)是群/(G/)的所有子集的集合，考察群/(G/)在/(X/)上的变换/(g(S)=gSg^{-1}/)。满足/(gS_1g^{-1}=S_2/)的子集/(S_1,S_2/)称为 共轭 的（conjugat），这个变换显然是一个作用，现在直接把上段的结论应用到这里来。

首先互为共轭的子集在同一轨道里，这个轨道一般叫做 共轭类 ，共轭类中的元素互为共轭。子集/(S/)的稳定子满足/(gSg^{-1}=S/)，它也称为/(S/)的 正规化子 ，记作/(N(S)/)，它是一个子群。这样一来，共轭类的中的元素和/(N(S)/)的陪集一一对应，每个共轭类中有/([G:N(S)]/)个元素。进一步地，共轭类中每个元素的正规化子有以下关系，它们也形成一个共轭类。

/[N(gSg^{-1})=gN(S)g^{-1}/tag{4}/]

现在来考虑一些特殊情况。首先，以上/(X/)中可以只取那些只有一个元素的子集，这个情况等价于/(X=G/)，这就相当于定义了群元素间的共轭关系。群的元素在共轭的作用下分成了多个等价类，而不动元素/(F_G/)显然就是中心/(C/)。如果中心元有/(c/)个，其它等价类/(C_k/)分别有/(c_k/)个元素（/(k=1,2,/cdots,m/)），则类方程变成以下形式。

/[G=C/cup C_1/cup C_2/cup/cdots/cup C_m,/quad |G|=c+c_1+c_2+/cdots+c_m/tag{5}/]

其次，还可以把/(X/)中的元素限定为子群，这就定义了 共轭子群 。共轭子群具有共轭子集一样的性质，只是在子集和其正规化子的关系上有本质不同。对一般子集，不一定有/(S/subseteq N(S)/)，而对于子群/(H/)不仅有/(H/subseteq N(H)/)，还有/(H/trianglelefteq N(H)/)。从另一个角度看，/(N(H)/)其实是通过缩小/(G/)来使/(H/)成为正规子群，/(N(H)/)是/(G/)中使/(H/)称为正规子群的最大子群。反过来能否通过缩小/(H/)来得到一个正规子群呢？考察/(H/)的所有共轭子群之交/(K=/cap H_k/)，可以证明/(aH_ka^{-1}/)任然包含所有/(H/)的共轭子群，从而恒有/(aKa^{-1}=K/)，即/(K/)为正规子群。特别的，如果/(H/)的指数有限，则/(K/)的指数也有限。

相对于单个元素的正规化子，子集的正规化子其实是被弱化的。正规化子/(N(x)/)是所有满足/(axa^{-1}=x/)的元素，即所有与/(x/)可交换的元素。为此可以定义与子集/(S/)所有元素可交换的集合，称它为/(S/)的 中心化子 ，并记做/(C(S)/)。容易证明它也是子群，并且有下式成立。而对单个元素显然有：/(C(x)=N(x)/)。

/[C(S)/trianglelefteq N(S)/tag{6}/]

思考两个简单的问题（亦可作为结论）：

•求证：/(/langle a/rangle/trianglelefteq N(a)/leqslant N(/langle a/rangle)/)；

•求证：/(C(S)/)是/(S/)各元素正规化子的交。

关于交错群/(A_n/)有一个重要的结论，现在我们可以来介绍它了：当/(n/neq 4/)时，/(A_n/)都是单群。对/(n<4/)的场景可以直接验证，你还可以证明（最好使用下段结论）/(A_4/)有唯一正规子群/(K_4/)。当/(n>4/)时，证明比较繁杂，但方法很基础，作为习题比较好，这里仅给出基本思路。首先容易证明任何偶置换都可以表示为若干/(3/)-循环之积，并且/(A_n/)可以由一些/(3/)-循环生成。其次证明/(A_n/)对/(3/)-循环集/(X/)的作用只有一个轨道，所以/(A_n/)中包含一个/(3/)-循环的正规子群只能是/(A_n/)自身。最后通过分情况讨论，证明/(A_n/)的正规子群必含有一个/(3/)-循环，这就证明了/(A_n,(n>4)/)是单群。

1.3 重陪集

元素/(g/)与左陪集/(xK/)可以定义作用/(g(xK)=gxK/)，现在就来看看这个作用有什么结论。记/(X/)为子群/(K/)的所有左陪集，考察子群/(H/)到/(X/)的作用（选/(G/)得不到有用结论）。作用的轨道是一些左陪集，它们的并可以写成/(HxK/)，它也称为 重陪集 。重陪集可以既可以看成是一些/(K/)的左陪集之并，也可以看成是一些/(H/)的右陪集之并。根据轨道的性质可知，重陪集之间要么完全相同，要么没有交集。

作用的稳定子满足/(hxK=xK/)，从而/(x^{-1}hx/in K/)，即/(h/in xKx^{-1}/)。稳定子的集合为/(H/cap xKx^{-1}/)，从而轨道内元素的个数是/([H:H/cap xKx^{-1}]/)。结合重陪集的意义和群的作用，就得到/(HxK/)里/(H/)的右陪集个数/(n_{Hx}/)和/(K/)的左陪集个数/(n_{xK}/)分别为以下公式。

/[n_{Hx}=[K:K/cap x^{-1}Hx],/quad n_{xK}=[H:H/cap xKx^{-1}]/tag{7}/]

再来看看稳定元素/(F_H/)，它们对一切/(h/)满足/(hxK=xK/)，这就得到/(xKx^{-1}=H/)，它要求/(K,H/)首先是共轭的。当/(H=K/)时，可知/(x/in N(H)/)，即/(F_H/)为/(N(H)/)中/(H/)的所有陪集，个数为/([N(H):H]/)。

2. 有限群

2.1 p-群和p阶群

对群的所有研究都是为了分析其结构，目前除了循环群之外，还没有其它群被完全解析。在储备了一些知识后，我们开始着眼于有限群和交换群这两种常见且重要的群。相对于无限群的无穷变换，有限群的结构总也是有穷的，在这里也许可以得到一些有用的结论。我们当然是从群的阶出发，逐步寻找规律。首先对于素数阶群，显然必定是循环群，且除/(e/)外每个元素都是生成元。对于素数幂次/(p^s/)阶群，它每个子群的阶都是/(p/)的幂，反之也是成立的，这样的群有时也叫/(p/)-群。

拉个朗日定理说到，子群的阶必为父群的因子，那么反过来呢？对任意阶为/(pm/)的群/(G/)，它有/(p/)阶子群吗？这个问题的答案是肯定的，现在用归纳法证明该重要结论。当/(m=1/)时结论显然，现在假设结论对/(pk,k<m/)成立。任意找一个非平凡子群/(H/)，如果/(p/mid|H|/)，则由假设知存在/(p/)阶子群。如果总有/(p/nmid|H|/)，考察类方程（5），有/(p/mid c_k/)，从而中心的阶满足/(p/mid c/)。而中心为正规子群，它的商群/(G/N/)必有/(p/)阶子群/(bH/)，则必定有/(p/mid |b|/)，所以/(/langle b/rangle/)中有/(p/)阶元。综合以上就得到了结论：阶为/(pm/)的群必有有/(p/)阶子群，该结论也叫 柯西定理 。

这个结论非常有用，比如由此可以判断/(pq/)阶交换群必有/(p,q/)阶子群/(/langle a/rangle,/langle b/rangle/)，而/(/langle ab/rangle/)的阶为/(pq/)，所以它必定是循环群。思考下面的习题：

•求证/(p/)-群有中心；

•求证/(p^2/)阶群是循环群，另外仅有一个/(p/)阶子群的/(p/)-群也是循环群；

•同构意义下，/(4/)阶群只有循环群和/(K_4/)。

2.2 西罗定理

继续刚才的问题，如果/(G/)的阶为/(p^sm,(p/nmid m)/)，它是否有/(p^k,(k/leqslant s)/)阶子群呢？当/(k=0,1/)时结论显然成立，假设有/(p^k,(k<s)/)阶子群/(H/)，考察式（8）的重陪集分解。左侧有/(p/mid [G:H]/)，右侧那些重陪集除了/(F_H/)外都有/(p/mid [Hx_iH:H]/)，从而/(p/mid |F_H|=[N(H):H]/)。所以有/(p/mid |N(H)/H|/)，故/(N(H)/H/)有/(p/)阶子群/(K/H/)，其中/(|K|=p^{k+1}/)，且/(H/trianglelefteq K/)。这就构造出了/(p^{k+1}/)阶子群，继而可以构造所有/(p^i,(0/leqslant i/leqslant s)/)阶子群，其中/(p^s/)阶子群也叫/(/text{Sylow}/:p/)-子群。

/[G=Hx_1H/:/cup/:Hx_2H/:/cup/cdots/cup/:Hx_rH/tag{8}/]

/[G=Hx_1K/:/cup/:Hx_2K/:/cup/cdots/cup/:Hx_rK/tag{9}/]

显然每个/(/text{Sylow}/:p/)-子群的共轭也是/(/text{Sylow}/:p/)-子群，反之对两个/(/text{Sylow}/:p/)-子群/(K,H/)，考察其重陪集分解（9）。因为/(p/nmid [G:H]/)，而右侧重陪集除/(F_H/)外都有/(p/mid [Hx_iK:H]/)，故有/(F_H>1/)。即存在/(HxK=xK/)，这就有/(x^{-1}Hx=K/)，从而/(H,K/)共轭。既然所有的/(/text{Sylow}/:p/)-子群是一个共轭子群类，而稳定子为/(N(H)/)，故/(/text{Sylow}/:p/)-子群的个数为/(d=[G:N(H)]/)，首先当然有/(d/mid|G|/)。其次，容易有/(p/mid [G:H]-[N(H):H]/)，即/(p/mid (d-1)[N(H):H]/)，从而/(p/mid d-1/)。总结这两段的讨论就是重要的 西罗定理 （/(G/)的阶为/(p^sm,p/nmid m/)）：

（1）西罗第一定理：存在/(p^i,(0/leqslant i/leqslant s)/)阶子群，且对任意/(p^k,(k<s)/)阶子群/(H/)都有/(p^{k+1}/)阶子群/(K/)使得/(H/trianglelefteq K/)；

（2）西罗第二定理：所有/(/text{Sylow}/:p/)-子群共轭；

（3）西罗第三定理：/(/text{Sylow}/:p/)-子群个数/(n/)满足：/(n/mid m/)且/(n/equiv 1/pmod{p}/)。

西罗定理为研究有限群的结构提供了非常好的工具，如果/(/text{Sylow}/:p/)-子群仅有/(1/)个，那它必为正规子群，可以将群拆分为/(/text{Sylow}/:p/)-子群及其商群来研究。如果/(/text{Sylow}/:p/)-子群有/(n>1/)个，考虑它们的共轭关系，已知可以有一个从/(G/)到/(S_n/)的同态映射，这就说明了/(G/)有同态于/(S_n/)的商群。

在上面我们得到过结论：/(pq/)阶交换群是循环群。如果不要求是交换群，但/(p/nmid q-1,q/nmid p-1/)，则/(p/)-子群和/(q-/)子群都是正规子群且无非平凡交集，也可以证明它们是可交换的。之前的证明同样成立，它还是个循环群。利用这个结论，很多有限群都可以确定是循环群。

这个正规性还使得/(/text{Sylow}/:p/)-子群可参与有限群的分解。若有/(|G|=p_1^{e_1}p_2^{e_2}/cdots p_s^{e_s}/)，且/(/text{Sylow}/:p_k/)-子群/(P_k/)都是正规子群（比如上面的条件），你可以证明有下式成立。而把结果用到交换群上则是显然成立的。并且对任意/(d/mid|G|/)，设/(d=p_1^{e'_1}p_2^{e'_2}/cdots p_s^{e'_s}/)。由Sylow定理知，/(P_k/)中总有/(p_k^{e'_k}/)阶子群/(H_k/)，则显然/(H_1/times H_2/times /cdots /times H_s/)的阶就是/(d/)。这就是说拉格朗日定理的反命题对满足条件的有限群是成立的，对任意/(d/mid|G|/)都有阶为/(d/)的子群。

/[G=P_1/times P_2/times /cdots /times P_s/tag{10}/]

考虑几个习题：

•/(P/)为/(/text{Sylow}/:p/)-子群，若/(p/)-群/(H/)满足/(H/subseteq N(P)/)，则/(H/subseteq P/)；

•同构意义下，/(6/)阶群只有循环群和/(S_3/)；

•若/(|G|=p^2q/)或/(|G|=pqr/)，则/(G/)不是单群。

2.3 有限交换群

刚才我们把有限交换群分解成了/(/text{Sylow}/:p/)-子群的直积，现在来看交换群/(/text{Sylow}/:p/)-子群/(P/)能否再进一步分解。考察/(P/)的一组生成元/(/{a_1,a_2,/cdots,a_n/}/)，由于是交换群，则必定有/(G=/langle a_1/rangle/langle a_2/rangle/cdots/langle a_n/rangle/)。接下来我们需要找使得表达式成为直积的生成元，主要思想是利用现有生成元，如果不是直积，则能构造出阶之和更小的生成元，用无穷递降法就构造出直积表达式。这样每个/(/text{Sylow}/:p/)-子群/(P/)都被分解成了若干循环群的直积，进而可以有任何有限交换群/(G/)都可以分解为循环群的直积，并且每个循环群的解都是/(p/)-群。它们的生成元被称为/(G/)的 基 ，生成元的阶被称为 初等因子 ，由此两个有限交换群同构的充要条件就是它们的初等因子组相等。

/[G=/langle a_1/rangle/times/langle a_2/rangle/times/cdots/times/langle a_n/rangle,/quad |a_k|=p_i^j/tag{11}/]

可以将/(G/)的初等因子分成多组/(r_1,r_2,/cdots,r_m/)，并且满足/(r_k/mid r_{k+1}/)。相应地就有下式成立。/(r_k/)叫的 不变因子 ，容易证明不变因子组相等也是有限交换群同构的充要条件。其实还可以证明，对任意初等因子组合不变因子组，都可以构造出相应的有限循环群，以上都称有限 交换群基本定理 （后面会从自由群的角度重新论证）。

/[G=/langle b_1/rangle/times/langle b_2/rangle/times/cdots/times/langle b_n/rangle,/quad |b_k|/mid|b_{k+1}|/tag{12}/]

关于群论的基础知识，我们在这里就匆匆结束了。下面我打算接着学习抽象代数的其它结构，后面会以更高的视角回来继续介绍群论，相信那个时候的理解会深刻一些。

【未完待续】