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计算机组成 -- 定点数 + 浮点数

>>> 0.3 + 0.6
0.8999999999999999

32bit是无法表达所有实数的，只能表达 2^32 次方不同的数字，差不多 40亿
40亿个数字比起无限多的实数集合只是沧海一粟，应该让这40亿个数映射到实数集合上的哪些数字，在实际应用中才最划算

定点数

用 4个bit 表示 0~9 的整数，那么32个bit就可以表示8个这样的整数
然后把 最右边的2个 0~9 的整数，当成小数部分；把 最左边6个 0~9 的整数，当成整数部分
这样用32bit可以表示 0.00~999999.99 这 1亿个实数
这种用 二进制表示十进制 的编码方式，称为 BCD编码 （ Binary-Coded Decimal ）
应用非常广泛：超市、银行
缺点
- 浪费
  - 本来32bit可以表示40亿个不同的数字，但在 BCD编码 下，只能表示1亿个数
  - 如果 精确到分 ，能够表达的 最大金额 为 100W ，非常有限
- 无法同时表示 很大的数字 和 很小的数字

浮点数

浮点数的 科学计数法 的表示，有一个 IEEE 的标准，定义了两个基本的格式
- 一个是用 32bit 表示 单精度 的浮点数，即 float
- 一个是用 64bit 表示 双精度 的浮点数，即 double
float
- 符号位s – 1bit
  - 用来表示正数还是负数，所有浮点数都是有符号的
- 指数位e – 8bit
  - 8bit表示的整数空间，为 0~255 ， 1~254 映射到 -126~127 这254个有正有负的数上
  - 0 和 255 是 标志位 ，主要用于表示 0 和一些 特殊的数
- 有效数位f – 23bit
- $(-1)^s /times 1.f /times 2^e$
  - 没办法表示0，需要借助指数位e

格式	s=符号位	e=指数位	f=有效数位
float	1 bit	8 bit	23 bit

s	e	f	浮点数	备注
0 or 1	0	0	0
0	255	0	无穷大
1	255	0	无穷小
0 or 1	255	!= 0	NAN
0 or 1	0	!= 0	0.f	暂未消化

特殊数的Java实现

java.lang.Float

/**
  * A constant holding the positive infinity of type
  * {@code float}. It is equal to the value returned by
  * {@code Float.intBitsToFloat(0x7f800000)}.
  */
public static final float POSITIVE_INFINITY = 1.0f / 0.0f;

/**
  * A constant holding the negative infinity of type
  * {@code float}. It is equal to the value returned by
  * {@code Float.intBitsToFloat(0xff800000)}.
  */
public static final float NEGATIVE_INFINITY = -1.0f / 0.0f;

/**
  * A constant holding a Not-a-Number (NaN) value of type
  * {@code float}.  It is equivalent to the value returned by
  * {@code Float.intBitsToFloat(0x7fc00000)}.
  */
public static final float NaN = 0.0f / 0.0f;

private static String getFloatBinaryString(float f) {
    StringBuilder builder = new StringBuilder(Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(f)));
    int length = builder.length();
    if (length < 32) {
        for (int i = 0; i < 32 - length; i++) {
            builder.insert(0, "0");
        }
    }
    String s = builder.toString();
    return s.substring(0, 1) + "-" + s.substring(1, 9) + "-" + s.substring(9, 32) + " -> " + f;
}

public static void main(String[] args) {
    System.out.println(getFloatBinaryString(0.0F));
    System.out.println(getFloatBinaryString(-0.0F));

    System.out.println(getFloatBinaryString(Float.POSITIVE_INFINITY));
    System.out.println(getFloatBinaryString(-Float.POSITIVE_INFINITY));
    System.out.println(getFloatBinaryString(Float.NEGATIVE_INFINITY));
    System.out.println(getFloatBinaryString(-Float.NEGATIVE_INFINITY));

    System.out.println(getFloatBinaryString(Float.NaN));
    System.out.println(getFloatBinaryString(-Float.NaN));
}

0-00000000-00000000000000000000000 -> 0.0
1-00000000-00000000000000000000000 -> -0.0
0-11111111-00000000000000000000000 -> Infinity
1-11111111-00000000000000000000000 -> -Infinity
1-11111111-00000000000000000000000 -> -Infinity
0-11111111-00000000000000000000000 -> Infinity
0-11111111-10000000000000000000000 -> NaN
0-11111111-10000000000000000000000 -> NaN

0.5

$0.5 = (-1)^0 /times 1.0 /times 2^{-1}$
$s=0, f=0, e=-1$
- $e$ 表示从 -126~127 个，而-1是其中 第126个
如果不考虑符号，浮点数能够表示的最小的数和最大的数，差不多是 $1.17 /times 10^{-38}$ 和 $3.40 /times 10^{38}$
- 比 BSD 编码能表示的范围 大很多
浮点数是 没法精确表示0.3和0.6的 ，而0.5是能够被精确地表示成二进制浮点数的
- 浮点数无论是表示还是计算其实都是 近似计算

public static void main(String[] args) {
    System.out.println(getFloatBinaryString(0.5F));
    System.out.println(getFloatBinaryString(-0.5F));
}

0-01111110-00000000000000000000000 -> 0.5
1-01111110-00000000000000000000000 -> -0.5

原文 http://zhongmingmao.me/2020/01/15/computer-organization-fix-float/

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所属分类：编程技术 Java

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