之前的文章分别介绍了因变量服从高斯分布、伯努利分布、泊松分布、多项分布时,与之对应的回归模型,本文章将阐释这些模型的共同点,并加以推广。
首先非正式地给出指数分布族的定义:
定义如果变量y的分布可以被表示为p(y;η)=b(y)exp(η T T(y)-a(η))的形式(η为分布的参数),则称y服从指数分布族
萌萌哒博主能力有限,关于指数分布族无法给出过多解释。如果对指数分布族的性质及a(η),b(y),T(y)的含义等内容有兴趣,请参考维基百科。
维基百科指数分布族参考链接: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_family
以单变量高斯分布为例进行推导。高斯分布的概率密度函数如下:
对比指数分布族定义,可以发现:
从而验证了高斯分布属于指数分布族。
伯努利分布的概率密度函数如下:
对比指数分布族定义,可以发现:
从而验证了伯努利分布属于指数分布族。
泊松分布的概率密度函数如下:
对比指数分布族定义,可以发现:
从而验证了泊松分布属于指数分布族。
注意: 在Softmax回归的背景下,对多项分布的自变量n 1 ...n k 进行了限制,即假设n 1 ...n k 恰有一个取值为1,其余为0。只有这样才能满足k分类的要求。在这种限制下,多项分布的自变量可以由k维向量转换为取值范围在{1...k}的标量,从而简化运算。 在这种情况下,多项分布的概率密度如下:
化简至此,可以发现仍然与指数分布族有些许差距。继续将概率密度化为向量形式:
有没有似曾相识的感觉呢?如果取k=2,多项分布将退化为伯努利分布:伯努利分布是多项分布的特例,而多项分布是伯努利分布的推广。对比指数分布族定义,可以发现:
从而验证了多项分布属于指数分布族。
函数 1 {·}的含义参看本系列上一篇文章,此处不再赘述。参见: http://www.cnblogs.com/tbcaaa8/p/4486297.html
广义线性模型基于如下三点假设:
假设一y (i) |x (i) 相互独立且满足同一属于指数分布族的分布
假设二E(T(y(i))|x(i))是y (i) |x (i) 所满足的分布的参数
假设三模型具有线性性,即η=θ T x
基于以上假设,广义线性模型中的对数似然函数可以表示为如下形式:
下面求似然函数的极大值:
在线性回归、逻辑回归、泊松回归和Softmax回归中,将相关参数带入上式,即可得到对其损失函数求导后的结果(损失函数自身的意义小于其导函数的意义)。随后可以使用梯度下降(上升)法求解,也可以直接利用牛顿法求解。
注:线性回归由于参数σ 2 的存在,处理过程稍有不同,但结果是一致的;上式与损失函数求导后的结果相比,可能有符号的差别,这与损失函数的定义有关。
至此,广义线性模型问题基本解决,但仍遗留有一些细节问题。例如,在线性回归、逻辑回归、泊松回归和Softmax回归中提到的假设函数h θ (x)是怎么得出的?
在指数分布族中,未知参数为η,而我们想要求得的参数是一个权重向量θ。h θ (x)的作用,正式将二者关联起来,因此也称之为连接函数。在广义线性模型中,参数η其实是概率分布的某个参数(如高斯分布的参数μ,伯努利分布的参数Φ等)的函数,例如η= η (μ)等等,而连接函数则是其反函数,即μ= η -1 (η)。解出反函数后,将η=θ T x带入其中,即可得到h θ (x)。
那么,对于一个给定的回归模型,连接函数的选取是否是唯一的呢?
在一般情况下,应选择 η -1 作为连接函数。但选择形态上与其类似的函数作为连接函数也是可以的,例如在逻辑回归中,可以选择双曲正切函数代替sigmoid函数,只不过此时的回归模型不再是标准的回归模型了。