最小生成树的Kruskal算法实现

最近在复习数据结构，所以想起了之前做的一个最小生成树算法。用Kruskal算法实现的，结合堆排序可以复习回顾数据结构。现在写出来与大家分享。

最小生成树算法思想：书上说的是在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。说白了其实就是在含有 n 个顶点的连通网中选择 n-1 条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中 n-1 条边上权值之和达到最小，则称最小生成树。

本程序用的是克鲁斯卡尔算法（Kruskal），也可以使用prim算法实现。Kruskal思想是 在带权连通图中，不断地在排列好的边集合中找到最小的边，如果该边满足得到最小生成树的条件，就将其构造，直到最后得到一颗最小生成树。

图的顶点存储结构体：

1 //结构体定义，储存图的顶点 2 typedef struct {  3     int from; //边的起始顶点 4     int to;   //边的终止顶点 5     int cost; //边的权值 6 }Edge;

问题：顶点编号的类型。

好的程序应该可以扩展，不论顶点用0,1,2...  顺序编号还是用5,2,1,7... 乱序编号还是用a,b,c...  英文编号都应该可以做到兼容通过，所以在存储图的节点的时候我做了一个映射，就是不论输入的什么编号一律转换成顺序编号0,1,2...，在最后输出的时候再把编号映射回原来的编号，这样就可以应对不同而顶点编号。如下面程序：

 1 for(i = 0;i < edgeNum; i++){  2     printf("请输入第 %d 条边！/n",i+1);  3     scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost);   4     edge_temp[i][0] = judge_num(from);   5     edge_temp[i][1] = judge_num(to);  6     edge_temp[i][2] = cost;   7 }  8 //对输入的边和点信息进行堆排序  9 HeapSort(edge_temp,edgeNum); 10 int j; 11 for(j = 0;j < edgeNum; j++){ 12     edge[j].from = edge_temp[j][0];  13     edge[j].to = edge_temp[j][1];  14     edge[j].cost = edge_temp[j][2];    15 }

每次输入顶点后都会先保存到临时存储数组edge_temp中，进行堆排序后再把数据白存在真正的数据中。其中判断是否形成回路借助了一个递归方法：

1 //用于判断是否形成回路 2 int judge(int num){   3     if(num == judge_temp[num]){ 4         return judge_temp[num];  5     }  6     return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);   7 }

执行步骤：

1：在带权连通图中，将边的权值排序（本程序用的是堆排序）；

2：判断是否需要选择这条边（此时的边已按权值从小到大排好序）。判断的依据是边的两个顶点是否已连通，如果连通则继续下一条；如果不连通，那么就选择使其连通。

3：循环第二步，直到图中所有的顶点都在同一个连通分量中，即得到最小生成树。

判断法则：（当将边加入到已找到边的集合中时，是否会形成回路？）

1：如果没有形成回路，那么直接将其连通。此时，对于边的集合又要做一次判断：这两个点是否在已找到点的集合中出现过？如果两个点都没有出现过，那么将这 两个点都加入已找到点的集合中；如果其中一个点在集合中出现过，那么将另一个没有出现过的点加入到集合中；如果这两个点都出现过，则不用加入到集合中。

2：如果形成回路，不符合要求，直接进行下一次操作。

重点类容就这么多，下面给出源程序，程序直接复制后可以运行，有兴趣的朋友也可以用prim算法实现。

  1 #include <stdio.h>    2 #include <string.h>    3 //常量定义，边点最大数量限制50;   4 #define MAXE 52   5    6 /*   7  * Info:最小生成树算法源码(C语言版)   8  * @author: zhaoyafei    9  * time: 2015  10  */  11   12 //结构体定义，储存图的顶点  13 typedef struct {   14     int from; //边的起始顶点  15     int to;   //边的终止顶点  16     int cost; //边的权值  17 }Edge;  18   19 int nodeNum;  //顶点数;  20 int edgeNum;  //边数;  21 int min_cost; //记录最小生成树(权值)  22 int judge_temp[MAXE]; //记录判断是否成环  23 int sort[MAXE][MAXE]; //用来做排序  24 int edge_temp[MAXE][3]; //用于存储堆排序边点信息  25   26 Edge edge[MAXE];        //用于存储边点信息  27 Edge min_edge[MAXE];    //用于存储最小生成树边点信息  28   29 char judge_num_int[MAXE];   30 int inputs = 1;  31 void HeapSort(int array[MAXE][3],int length);  32 int judge_num(char from);  33   34 //save_point()函数,存储图的点边信息;   35 void save_point(){    36     char from;  37     char to;  38     int cost = 0;   39     int i;    40     for(i = 0;i < edgeNum; i++){  41         printf("请输入第 %d 条边！/n",i+1);  42         scanf(" %c %c %d",&from,&to,&cost);   43   44         edge_temp[i][0] = judge_num(from);   45         edge_temp[i][1] = judge_num(to);  46         edge_temp[i][2] = cost;   47     }  48     //对输入的边和点信息进行堆排序  49     HeapSort(edge_temp,edgeNum);  50     int j;  51     for(j = 0;j < edgeNum; j++){  52         edge[j].from = edge_temp[j][0];   53         edge[j].to = edge_temp[j][1];   54         edge[j].cost = edge_temp[j][2];     55     }  56 }   57   58 int judge_num(char str){  59     int n1 = 0;  60     for(int j1 = 1;j1 < edgeNum * 2; j1++){  61         if(str == judge_num_int[j1]){  62             n1++;  63         }  64     }  65     if(n1 == 0){  66         judge_num_int[inputs] = str;  67         inputs++;  68     }  69     int return_num = 1;  70     for(int j2 = 1;j2 < edgeNum * 2; j2++){  71         if(str == judge_num_int[j2]){  72             return_num = j2;  73         }  74     }  75     return return_num;  76 }  77   78 //用于判断是否形成回路  79 int judge(int num){    80     if(num == judge_temp[num]){  81         return judge_temp[num];   82     }   83     return judge_temp[num] = judge(judge_temp[num]);    84 }   85   86 //判断是否是一棵最小生成树  87 bool is_judge(){     88     int oneedge = judge(1);  89     int i;      90     for(i = 2;i <= nodeNum; i++)  {    91         if(oneedge != judge(i)){    92             return false;    93         }    94     }        95     return true;    96 }  97   98 //kruskal算法     99 void kruskal(){   100     min_cost = 0;//最小生成树  101     //初始化辅助回路判断数组   102     int m;    103     for(m = 0;m < MAXE;m++)  {   104         judge_temp[m] = m;   105     }   106        107     int edge_num = 0;//记录最小生成树的边数    108     int i; 109     for(i = 0;i < edgeNum; i++){ 110         //小于总节点数 111         if(edge_num != nodeNum - 1){ 112             int edge_from = judge(edge[i].from);   113             int edge_to = judge(edge[i].to); 114             //如果形成回路则edge_from == edge_to; 115             if(edge_from != edge_to){ 116                 //如果没有形成回路，则改变原临时数组中的值   117                 judge_temp[edge_from] = edge_to;   118                 min_cost += edge[i].cost;   119  120                 //将符合的边加入到存储数组中 121                 min_edge[edge_num].from = edge[i].from;   122                 min_edge[edge_num].to = edge[i].to;   123                 min_edge[edge_num].cost = edge[i].cost;  124                  125                 edge_num++;   126             }    127         }    128     }   129 } 130  131 //array是待调整的堆数组，i是待调整的数组元素的位置，nlength是数组的长度 132 //根据数组array构建大顶堆 133 void HeapAdjust(int array[MAXE][3],int i,int nLength){ 134    int nChild; 135    for(; 2*i + 1 < nLength; i = nChild){  //子结点的位置=2*（父结点位置）+1 136         nChild = 2*i + 1; 137         //得到子结点中较大的结点 138         if(nChild < nLength-1 && array[nChild+1][2] > array[nChild][2]){ 139             ++nChild; 140         } 141         //如果较大的子结点大于父结点那么把较大的子结点往上移动，替换它的父结点 142         if(array[i][2] < array[nChild][2]){ 143             int temp_arr2[3]; 144             temp_arr2[0] = array[i][0]; 145             temp_arr2[1] = array[i][1]; 146             temp_arr2[2] = array[i][2]; 147  148             array[i][0] = array[nChild][0]; 149             array[i][1] = array[nChild][1]; 150             array[i][2] = array[nChild][2]; 151  152             array[nChild][0] = temp_arr2[0]; 153             array[nChild][1] = temp_arr2[1]; 154             array[nChild][2] = temp_arr2[2]; 155         }else{ 156             break;//否则退出循环 157         } 158     } 159 } 160   161 //堆排序算法 162 void HeapSort(int array[MAXE][3],int length){ 163     //调整序列的前半部分元素，调整完之后第一个元素是序列的最大的元素 164     //length/2-1是最后一个非叶节点，此处"/"为整除 165     int j; 166     for( j= length/2 - 1; j >= 0; --j){ 167         HeapAdjust(array,j,length); 168     } 169     //从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素 170     int i; 171     for(i = length - 1; i > 0; --i){ 172         //把第一个元素和当前的最后一个元素交换， 173         //保证当前的最后一个位置的元素都是在现在的这个序列之中最大的 174         int temp_arr1[3]; //构建二维数组的原因：交换后保证数组中其他属性值同时交换 175         temp_arr1[0] = array[i][0]; 176         temp_arr1[1] = array[i][1]; 177         temp_arr1[2] = array[i][2]; 178  179         array[i][0] = array[0][0]; 180         array[i][1] = array[0][1]; 181         array[i][2] = array[0][2]; 182  183         array[0][0] = temp_arr1[0]; 184         array[0][1] = temp_arr1[1]; 185         array[0][2] = temp_arr1[2]; 186  187         //不断缩小调整heap的范围，每一次调整完毕保证第一个元素是当前序列的最大值 188         HeapAdjust(array,0,i); 189     } 190 } 191  192 //输出最小生成树的信息（包括边点和权值）  193 void output(){    194     if(is_judge()){   195         printf("最小生成树：/n");  196         printf("起点 -> 终点   路径长:/n");    197         for(int i = 0;i < nodeNum-1; i++){   198             printf(" %c   ->  %c       %d/n",judge_num_int[min_edge[i].from],judge_num_int[min_edge[i].to],min_edge[i].cost);   199         }   200         printf("min cost is : %d/n",min_cost);  201         printf("*******************************************************************************/n");  202         printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:/n"); 203     }else{ 204         printf("最小生成树不存在！/n"); 205         printf("*******************************************************************************/n");  206         printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:/n");   207     }  208 } 209  210 /* 211  * 程序主方法; 212  * 用于开始程序，介绍程序操作须知; 213  */ 214 int main(){  215     printf("*******************************************************************************/n");  216     printf("**                         最小生成树（kruskal算法）                        ***/n"); 217     printf("**  说明：开始程序输入图的总点数和总边数，测试程序目前边点限制最多输入50个  ***/n"); 218     printf("**        中间用空格隔开。输入边和点信息，需要按格式：开始边 终止边  权值   ***/n"); 219     printf("**        本次计算结束可以按要求开始下次计算。                              ***/n"); 220     printf("*******************************************************************************/n"); 221     printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:/n"); 222     while(scanf("%d%d",&nodeNum,&edgeNum) != EOF){  223         //判断输入的边和点的合法性 224         if(nodeNum < 1 || edgeNum < 1){ 225             printf("输入的数据不合法/n"); 226             printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:/n"); 227             return 0; 228         }else if(nodeNum > 50 || edgeNum > 50){ 229             printf("输入的边或者点不能大于50/n"); 230             printf("请输入 节点数 边数（中间需用空格隔开）:/n"); 231             return 0; 232         }else{ 233             printf("请输入 开始节点 终止节点 该边的权值（中间需用空格隔开,回车换行）:/n"); 234             printf("共 %d 条边/n",edgeNum); 235             for(int m = 0;m < MAXE; m++)  {   236                 judge_num_int[m] = '-';   237             }   238             inputs = 1; 239             save_point(); //存储边点信息           240             kruskal();    //算法执行  241             output();     //输出执行结果 242         }   243     }  244     return 0;   245 }

运行结果如下：